Question

【題目】如圖，四棱柱中，是棱上的一點，平面，，，.

（1）若是的中點，證明：平面平面；

（2）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）由線面垂直的判定定理，證得平面，得到，又由，證得，進而得到平面，再由面面垂直的判定定理，即可證得結論；

（2）以為原點，，，分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，求得平面的法向量為和平面的法向量為，利用向量的夾角公式，即可求解.

（1）因為平面，所以，

又，故平面，

平面，故，

因為，所以，同理，

所以，又，

所以平面，

又平面，

所以平面平面.

（2）設，則，，

以為原點，，，分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系.

則，，，，，

，，，，

記平面的法向量為，記平面的法向量為，

由，得，

由，得，

則，

所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.