Question

【題目】已知數列與滿足，.

（1）若，且，求的通項公式；

（2）設的第項是最大項，即，求證：的第項是最大項；

（3）設，求的取值范圍，使得有最大值與最小值，且.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）把bn＝3n+5代入已知遞推式可得an+1﹣an＝6，由此得到{an}是等差數列，則an可求；

（2）由an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1，結合遞推式累加得到an＝2bn+a1﹣2b1，求得，進一步得到得答案；

（3）由（2）可得，然后分﹣1＜λ＜0，λ＝﹣1，λ＜﹣1三種情況求得an的最大值M和最小值m，再由∈（﹣2，2）列式求得λ的范圍．

（1）由可得：，又，所以數列以1為首項，6為公差的等差數列，即有；

（2）由可得：

……

，

將上述式子累加可得

，當時，也成立，所以，由此可得

，由于為常數，所以當的第項是最大項時，最大，即的第項是最大項；

（3）由（2）可知，即，結合可得

，分三種情況進行討論：

①當時，則為偶數時，為奇數時，，即，此時，由此，此情況不符合條件；

②當時，則為偶數時，，由于，所以，從而“隨著增大值減小，此時，，無最小值（無限靠近0）；為奇數，，此時，由于，所以，從而隨著增大值減小，結合，可知隨著增大值增大，此時，無最大值（無限靠近0）；由此可知數列的最大值，最小值，，又，所以，解之；

③當時，則為偶數時，，由于，所以，從而隨著增大值增大，此時，，無最大值（無限靠近）；為奇數時，，此時，由于，所以，從而隨著增大值增大，結合，可知隨著增大值減小，此時，無最小值（無限靠近）；由此可知，在條件下，數列無最值，顯然不符合條件；

綜上，符合條件的實數的取值范圍為.