Question

【題目】若數列,滿足,則稱為數列的“偏差數列”.

（1）若為常數列,且為的“偏差數列”,試判斷是否一定為等差數列,并說明理由;

（2）若無窮數列是各項均為正整數的等比數列,且,為數列的“偏差數列”,求的值;

（3）設,為數列的“偏差數列”,,且若對任意恒成立,求實數的最小值.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析（2）或（3）

【解析】

（1）設,根據,可得,滿足為數列的“偏差數列,但此時不是等差數列,故可得出不一定是等差數列;

（2）設數列的公比為,解方程可得首項和公比,由等比數列的通項公式和求和公式,計算可得所求值;

（3）由累加法可得數列的通項公式.討論為奇數或偶數,求得極限,由不等式恒成立思想可得的最小值.

（1）設 ,根據

即:得:

滿足為數列的“偏差數列,

但此時不是等差數列,故可得出不一定是等差數列.

（2）設數列的公比為,則由題意,,均為正整數

因為，所以

解得或

故或

①當時,,

②當時,,

綜上所述:的值為:或

（3）且

得:

故有:

累加得:

又所以

當為奇數時,單調遞增,,，

當為偶數時,單調遞減,，，

從而,所以

所以的最小值為.