Question

【題目】已知，，順次是橢圓：的右頂點、上頂點和下頂點，橢圓的離心率，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）若斜率的直線過點，直線與橢圓交于，兩點，試判斷：以為直徑的圓是否經過點，并證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1） （2）經過，證明見解析

【解析】

（1）根據題意，列出相應表達式，再結合，即可求解；

（2）可聯立直線和橢圓的標準方程，結合韋達定理表示出兩根和與積的關系，再由向量證明即可；

（1）解：由題意得，，，.

∴即，

設橢圓的半焦距為，得方程組，解得，

∴橢圓的方程為.

（2）方法一：以為直徑的圓經過點.理由如下：

∵橢圓：，.直線的斜率，且過點.

∴直線：，

由消去，并整理得，

，直線與橢圓有兩個交點.

設，，則，.

∵

.

∴以為直徑的圓經過點.

方法二：同方法一，得，.

∴

.

設的中點為，則，.

∴.

∴以為直徑的圓經過點.