Question

【題目】已知M(x1，y1)是橢圓＝1(a>b>0)上任意一點，F為橢圓的右焦點．

（1）若橢圓的離心率為e，試用e，a，x1表示|MF|，并求|MF|的最值；

（2）已知直線m與圓x2＋y2＝b2相切，并與橢圓交于A、B兩點，且直線m與圓的切點Q在y軸右側，若a＝4，求△ABF的周長．

Answer 1

【答案】（1）|MF|＝a－ex1，且|MF|max＝a＋ae，|MF|min＝a－ae.（2）8

【解析】

（1）設F（c，0），則|MF|，﹣a≤x1≤a，且0＜e＜1，由此能求出|MF|的最值．

（2）設A(x0，y0)，B（x2，y2），(x0，x2>0)，在△OQA中，由|AQ|，|BQ|，求出|AB|+|AF|+|BF|＝2a，由此能求出△ABF的周長．

(1)設F(c,0)，則|MF|＝，

又，則

所以|MF|＝

＝＝，

又－a≤x1≤a且0<e<1，

所以|MF|＝a－ex1，且|MF|max＝a＋ae，|MF|min＝a－ae.

設A(x0，y0)，B(x2，y2)(x0，x2>0)，連接OQ，OA，

在△OQA中，|AQ|2＝＋－b2，

又＝，所以|AQ|2＝

則|AQ|＝，同理|BQ|＝，

所以|AB|＋|AF|＋|BF|＝2a－＋x0＋x2＝2a，

又a＝4，所以所求周長為8.