【題目】在平面直角坐標系中，點
、
分別為雙曲線
的左、右焦點，雙曲線
的離心率為
，點
在雙曲線上，不在
軸上的動點
與動點
關于原點
對稱，且四邊形
的周長為
.
(1)求動點的軌跡
的方程；
(2)過點
的直線交的軌跡于
，
兩點，
為上一點，且滿足
，其中
，求
的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】試題分析：（1）根據題意列出表達式
，又因為點
在雙曲線
上，所以
，聯立兩個方程可得到參數值；（2）聯立直線和橢圓得到二次方程，又因為
，得
，代入橢圓方程得
，根據弦長公式得到
，求表達式的范圍即可.
詳解：(1)設點
，
分別為
，
，由已知，所以
，
，
，又因為點在雙曲線上，所以，
則
，即
，解得
，
，所以
.
連接
，因為
，
，所以四邊形
為平行四邊形，
因為四邊形的周長為
，所以
，
所以動點
的軌跡是以點、分別為左、右焦點，長軸長為
的橢圓(除去左右頂點)，可得動點的軌跡方程為：.
(2)由題意可知該直線存在斜率，設其方程為
且
.
由
得
，
∴
，得
，
設
，
，
，則
，
由，得，
代入橢圓方程得，由
得
，
∴
，
令
，則
，∴
.
探究與鞏固河南科學技術出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某年級組織學生參加了某項學術能力測試,為了解參加測試學生的成績情況,從中隨機抽取20名學生的測試成績作為樣本,規定成績大于或等于80分的為優秀,否則為不優秀.統計結果如圖:
(1)求
的值和樣本的平均數;
(2)從該樣本成績優秀的學生中任選兩名,求這兩名學生的成績至少有一個落在
內的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設復平面上點
對應的復數
（
為虛數單位）滿足
，點的軌跡方程為曲線
. 雙曲線
:
與曲線有共同焦點，傾斜角為
的直線
與雙曲線的兩條漸近線的交點是
、
，
，
為坐標原點.
（1）求點的軌跡方程；
（2）求直線的方程；
（3）設△PQR三個頂點在曲線上，求證：當是△PQR重心時，△PQR的面積是定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對于任意
，若數列
滿足
，則稱這個數列為“K數列”.
（1）已知數列：
，
，
是“K數列”，求實數
的取值范圍；
（2）設等差數列
的前
項和為
，當首項
與公差
滿足什么條件時，數列
是“K數列”？
（3）設數列的前項和為，
，且
，. 設
，是否存在實數
，使得數列
為“K數列”. 若存在，求實數的取值范圍；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB＝60°．點E是棱PC的中點，平面ABE與棱PD交于點F．
（1）求證：AB∥EF；
（2）若PA＝PD＝AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF與平面AFE所成的銳二面角的余弦值．
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