Question

【題目】已知橢圓：經過點，，直線：與橢圓相交于，兩點，與圓相切與點.

（1）求橢圓的方程；

（2）以線段，為鄰邊作平行四邊形，若點在橢圓上，且滿足（是坐標原點），求實數的取值范圍；

（3）是否為定值，如果是，求的值；如果不是，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）;（2）;（3）是定值，.

【解析】

（1）把兩點，代入方程可得橢圓的方程；

（2）先根據直線和圓相切，求出，然后聯立方程，結合韋達定理求出，結合平行四邊形性質和在橢圓上可得實數的取值范圍；

（3）根據直線和圓相切可以表示出切點坐標，把轉化為，結合向量運算及韋達定理可求.

（1）因為橢圓：經過點，，

所以，解得，所以橢圓的方程為.

（2）因為直線：與圓相切，所以，

即①.

由得.

設，則，

.

由向量加法的平行四邊形法則，得，

因為所以.

由題意易知，

設，則，

，即.

因為在橢圓上，所以，

整理得②

由可得，所以， ，即或.

由①②可得，令，則，

因為所以，解得或，

綜上可得.

（3）由（2）知，

設，則，由為切點可知,所以，

解得.

.

所以是定值且定值為.