Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的單調區間；

（2）當函數與函數圖象的公切線l經過坐標原點時，求實數a的取值集合；

（3）證明：當時，函數有兩個零點，，且滿足.

Answer 1

【答案】（1）單調增區間為，單調減區間為；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）利用導數求解單調性；（2）先求出公切線的方程，再探討的取值范圍；（3）先利用導數研究函數的單調性，證明零點個數．再使用函數思想，構造函數，利用導數研究函數單調性解決不等式問題．

（1）對求導，得，

令，解得，

當時，，單調遞增．

當，時，，單調遞減．

（2）設公切線與函數的切點為，，則公切線的斜率，

公切線的方程為：，將原點坐標代入，得，解得．

公切線的方程為：，將它與聯立，整理得．

令，對之求導得：，令，解得．

當時，，單調遞減，值域為，

當時，，單調遞增，值域為，

由于直線與函數相切，即只有一個公共點，因此．

故實數的取值集合為．

（3）證明：，要證有兩個零點，只要證有兩個零點即可．（1），

即時函數的一個零點．

對求導得：，令，解得．當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減．當時，取最小值，，

，必定存在使得二次函數，

即．因此在區間上必定存在的一個零點．

綜上所述，有兩個零點，一個是，另一個在區間上．

下面證明．

由上面步驟知有兩個零點，一個是，另一個在區間上．

不妨設，則，下面證明即可．

令，對之求導得，

故（a）在定義域內單調遞減，，即．

證明完畢．