Question

【題目】已知函數為實數且.

（1）設函數.當時，在其定義域內為單調增函數，求的取值范圍；

（2）設函數.當時，在區間(其中為自然對數的底數)上是否存在實數，使得成立，若存在，求實數的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）在其定義域內為單調增函數，即為在上恒成立，分類參數，利用均值不等式求出右邊函數的最大值，即得的范圍；（2）在區間上存在實數，使得成立，即得最小值小于零，討論的單調性，求出其最小值列參數的不等式求出范圍.

試題解析：（1） ,定義域為.因為,要使為單調遞增函數，須恒成立，即恒成立，即恒成立，又，所以定義域為單調遞增函數時，的取值范圍是.

（2）時，，且，令，得到，若在區間上存在一點，使得成立，即在區間上的最小值小于.①當，即時，恒成立，即在區間上單調遞減，故

在區間上的最小值為，由，得即 .②當,即時, 若，則對成立，所以在區間上單調遞減，則在區間上的最小值為,顯然 在區間 上的最小值小于不成立.若,即時，則有

		極小值

所以在區間上的最小值為.由,得,解得,即.綜上①②可知,當時，在區間上存在實數, 使得成立.