Question

【題目】先閱讀下列結論的證法，再解決后面的問題：已知a1 ， a2∈R，a1+a2=1，求證a12+a22≥ ．
【證明】構造函數f（x）=（x﹣a1）2+（x﹣a2）2
則f（x）=2x2﹣2（a1+a2）x+a12+a22
=2x2﹣2x+a12+a22
因為對一切x∈R，恒有f（x）≥0．
所以△=4﹣8（a12+a22）≤0，從而得a12+a22≥ ，
（1）若a1 ， a2 ， …，an∈R，a1+a2+…+an=1，請寫出上述結論的推廣式；
（2）參考上述解法，對你推廣的結論加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）

解：若a1，a2，…，an∈R，a1+a2+…+an=1，

求證：a12+a22+…+an2≥

（2）

解：證明：構造函數

f（x）=（x﹣a1）2+（x﹣a2）2+…+（x﹣an）2

=nx2﹣2（a1+a2+…+an）x+a12+a22+…+an2

=nx2﹣2x+a12+a22+…+an2

因為對一切x∈R，都有f（x）≥0，所以△=4﹣4n（a12+a22+…+an2）≤0

從而證得：a12+a22+…+an2≥

【解析】（1）由已知中已知a1 ， a2∈R，a1+a2=1，求證a12+a22≥ ，及整個式子的證明過程，我們根據歸納推理可以得到一個一般性的公式，若a1 ， a2 ， …，an∈R，a1+a2+…+an=1，則a12+a22+…+an2≥ ．（2）但此公式是由歸納推理得到的，其正確性還沒有得到驗證，觀察已知中的證明過程，我們可以類比對此公式進行證明．