1．已知全集，集合，，則集合   

A．                      B．                    C．                D．

2．“”是“”的

A．充分不必要條件                                        B．必要不充分條件

C．充要條件                                                  D．既不充分也不必要條件

3．在空間直角坐標系中，過點作直線的垂線，則直線與平面的交點的坐標滿足條件

A．

B．

C．

D．

4．如右圖，一個空間幾何體的主(正)視圖、側(左)視圖都是周長為8、一個內角為60°的菱形及其一條對角線，俯視圖是圓及其圓心，那么這個幾何體的表面積為

A．                                                           B．

C．                                                            D．

5．已知離心率為的曲線，其右焦點與拋物線的焦點重合，則的值為

A．                         B．                    C．                          D．

6．若奇函數在區間上是增函數，又=0，則不等式的解集為

A．                                         B．

C．                                      D．

7．設數列是等差數列，且是數列的前項和，則

A．                                                     B．

C．                                                     D．

8．已知直線、與函數圖像的交點分別為、，與函數圖像的交點分別為、，則直線與

A．相交，且交點在第一象限

B．相交，且交點在第二象限

C．相交，且交點在第四象限

D．相交，且交點在坐標原點

9．在右程序框圖中，當N（n>1）時，函數表示函數的導函數.若輸入函數，則輸出的函數可化為

A．                                           B．

C．                                            D．

10．某賓館有N間標準相同的客房，客房的定價將影響入住率．經調查分析，得出每間客房的定價與每天的入住率的大致關系如下表：

每間客房的定價

220元

200元

180元

160元

每天的住房率

50ㄇ

60ㄇ

70ㄇ

75ㄇ

對每間客房，若有客住，則成本為80元；若空閑，則成本為40元．要使此賓館每天的住房利潤最高，則每間客房的定價大致應為

A．220元                      B．200元                C．180元                 D．160元

（一）必做題：第11、12、13題為必做題（第13題前一空2分，后一空3分），每道試題考生都必須做答

11．已知向量，向量與方向相反，且，則實數        ．

12．200輛汽車經過某一雷達地區，時速頻率分布直方圖如圖所示，則時速不低于60km/h的汽車數量為        輛．

13．數列的前項和是，若數列的各項按如下規則排列：

則     ，若存在正整數，使，，則        ．

（二）選做題：第14、15題為選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計算第一題的得分．

14．（坐標系與參數方程選做題）已知點P是曲線為參數，上一點，O為原點．若直線OP的傾斜角為，則點的直角坐標為         ．

15．（幾何證明選講選做題）如右圖，、是兩圓的交點，是小圓的直徑，和分別是和的延長線與大圓的交點，已知，且，則=        ．

16．（本小題滿分12分）

已知復數在復平面上對應的點為．

（Ⅰ）設集合，從集合中隨機取一個數作為，從集合中隨機取一個數作為，求復數為純虛數的概率；

（Ⅱ）設，求點落在不等式組：所表示的平面區域內的概率．

17．（本小題滿分12分）

如圖，已知點點為坐標原點，點在第二象限_，且，記．學科網

（Ⅰ）求的值；學科網

（Ⅱ）若學科，求的面積．

18．（本小題滿分14分）

在直三棱柱中，平面，其垂足落在直線上．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若，，為的中點，求三棱錐的體積．

19．（本題滿分14分）

已知函數，且其導函數的圖像過原點．

（Ⅰ）當時，求函數的圖像在處的切線方程；

（Ⅱ）若存在，使得，求的最大值；

（Ⅲ）當時，求函數的零點個數．

20．（本題滿分14分）

已知等比數列的公比，且與的一等比中項為，與的等差中項為6．

（I）求數列的通項公式；

（Ⅱ）設為數列的前項和，，請比較與的大�。�

（Ⅲ）數列中是否存在三項，按原順序成等差數列？若存在，則求出這三項；若不存在，則加以證明．

21．（本小題滿分14分）

如圖，已知橢圓的上頂點為，右焦點為，直線與圓相切．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若不過點的動直線與橢圓相交于、兩點，且求證：直線過定點，并求出該定點的坐標．

2009年深圳市高三年級第二次調研考試數學（文科）答案及評分標準

說明：

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

 B

 A

C

B

C

B

D

D

C

C

11． . 12．76.  13． ， ． 14．．    15．.

16．（本小題滿分12分）

已知復數在復平面上對應的點為.

（Ⅰ）設集合，從集合中隨機取一個數作為，從集合

 中隨機取一個數作為,求復數為純虛數的概率；

（Ⅱ）設,求點落在不等式組：所表示的平面區內的概率.

解：(1)記 “復數為純虛數”為事件

∵組成復數的所有情況共有12個：，，

，，且每種情況出現的可能性相等，屬于古典概型. ……2分

其中事件包含的基本事件共2個: ………4分

∴所求事件的概率為………………6分

（2）依條件可知,點均勻地分布在平面區域內,

    屬于幾何概型. 該平面區域的圖形為右圖中矩形圍成的區域, 面積為

   ……8分

所求事件構成的平面區域為,其圖形如下圖中的三角    第16題圖

形(陰影部分)                                                        

又直線與軸、軸的交點分別為,

所以三角形的面積為……10分

∴所求事件的概率為………………12分

17．（本小題滿分12分）

如圖, 已知點點在第二象限_，且，為坐標原點，記．學科網

（Ⅰ）求的值；學科網

（Ⅱ）若學科,求的面積．

學科

解：(1) 點的坐標為，

   ………………3分                      

     ……………6分

 (2)（解法一）在中， ，

   ，                                  第17題圖

   ，

 ………10分

的面積        ………………12分

（解法二）設，由，得

，                      ………8分

解得：，或       

又點在第二象限，故.             ………10分

的面積             ………12分

18．（本小題滿分14分）

  在直三棱柱中， 平面，其垂足落在直線上.

(Ⅰ)求證：;

  (Ⅱ)若，,為的中點，求三棱錐的體積.

（Ⅰ）證明：三棱柱 為直三棱柱，

平面，

又平面，

 ------------------------------------------------------2分

平面，且平面，                        

.                                                     

又  平面,平面,，

平面，----------------------------5分                          第18題圖

又平面，

 -----------------------------------7分

（2）在直三棱柱 中，.                      

平面，其垂足落在直線上,

 .

 在中，，，,

在中，  -------------------------------------------------------------9分

由（1）知平面，平面,從而      

為的中點，-----------------------11分

---------------------14分

19.（本題滿分14分）

已知函數，且其導函數的圖像過原點.

(Ⅰ)當時,求函數的圖像在處的切線方程;

(Ⅱ)若存在,使得,求的最大值；

(Ⅲ)當時，求函數的零點個數.

解: ,

由得  ,.---------------------2分

 (Ⅰ) 當時, ,，,

所以函數的圖像在處的切線方程為,即--------------------4分

 (Ⅱ) 存在,使得,

  ，，

當且僅當時，

所以的最大值為.                                            --------------------9分

極大值

極小值

 (Ⅲ) 當時，的變化情況如下表：

-

---------11分

的極大值，的極小值

又，.

所以函數在區間內各有一個零點，

故函數共有三個零點。--------------------14分

注：①證明的極小值也可這樣進行:

設，則

當時, ,當時, ,函數在區間上是增函數,在區間上是減函數,故函數在區間上的最大值為,從而的極小值.

②證明函數共有三個零點。也可這樣進行:

的極大值，的極小值,

當 無限減小時，無限趨于 當 無限增大時，無限趨于

    故函數在區間內各有一個零點，

故函數共有三個零點。--------------------14分

20．（本題滿分14分）

已知等比數列的公比,且與的一等比中項為,與的等差中項為.

（I）求數列的通項公式;

（Ⅱ）設為數列的前項和,,請比較與的大�。�

（Ⅲ）數列中是否存在三項,按原順序成等差數列?若存在，則求出這三項；若不存在，則加以證明.

解: （I）由題意得,解得或--------------------2分

由公比,可得.--------------------3分

故數列的通項公式為--------------------5分

（Ⅱ）,--------------------6分

，，

.--------------------8分

當或為正偶數時, --------------------9分

當正奇數且時, ---------10分

（Ⅲ）假設數列中存在三項成等差數列, ---------11分

則,即,---------12分

由知為奇數, 為偶數,從而某奇數某偶數, 產生矛盾. --------13分

所以數列中不存在三項,按原順序成等差數列. --------14分

21．（本小題滿分14分）

已知橢圓的上頂點為,右焦點為,直線與圓

相切.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設是圓上的點，點是定點，斜率為且過點的直線與橢圓相交于、兩點，若是與無關的值，求點、的坐標.

解: （Ⅰ）將圓的一般方程化為標準方程 ，

圓的圓心為,半徑. --------------------1分

由,得直線,

即,--------------------2分

由直線與圓相切,得,

或(舍去). -------------------4分                              第21題圖

當時, ,  故橢圓的方程為-------------------5分

（Ⅱ）設,直線,代入橢圓的方程并整理得: ,   -------6分

設、,則是上述關于的方程兩個不相等的實數解，

   -------8分

（Ⅱ）若不過點的動直線與橢圓相交于、兩點，且求證：直線過定點，并求出該定點的坐標.                         

解: （Ⅰ）將圓的一般方程化為標準方程 ，

圓的圓心為,半徑. --------------------1分

由,得直線,即,--------------------2分

由直線與圓相切,得,

或(舍去). -------------------4分

當時, ,  故橢圓的方程為-------------------5分

（Ⅱ）(解法一)由知,從而直線與坐標軸不垂直, ------------------6分

由可設直線的方程為，直線的方程為. ------------------7分

將代入橢圓的方程并整理得: ,

解得或,因此的坐標為,即---------9分

將上式中的換成,得.------------------10分

直線的方程為------------------11分

化簡得直線的方程為，------------------13分

因此直線過定點.------------------14分

 (解法二)若直線存在斜率，則可設直線的方程為：， -------1分

代入橢圓的方程并整理得: ,   -------6分

由與橢圓相交于、兩點，則是上述關于的方程兩個不相等的實數解，從而

   -------8分

由得，

整理得： 由知.

此時, 因此直線過定點.-------12分

若直線不存在斜率，則可設直線的方程為：，

將代入橢圓的方程并整理得: ,

當時, ,直線與橢圓不相交于兩點，這與直線與橢圓相交于、兩點產生矛盾!

當時, 直線與橢圓相交于、兩點，是關于的方程的兩個不相等實數解，從而

但,這與產生矛盾! ------13分

因此直線過定點.-------14分

注：對直線不存在斜率的情形，可不做證明.