高考復習科目：數學      高中數學總復習(十一) 

復習內容：高中數學第十一章-概率 第十二章-概率與統計

復習范圍：第十一章、第十二章

編寫時間：2005-5

修訂時間：總計第三次 2005-6

                                   I. 基礎知識要點           

一、概率.

1. 概率：隨機事件A的概率是頻率的穩定值，反之，頻率是概率的近似值.

2. 等可能事件的概率：如果一次試驗中可能出現的結果有年n個，且所有結果出現的可能性都相等，那么，每一個基本事件的概率都是，如果某個事件A包含的結果有m個，那么事件A的概率.

3. ①互斥事件：不可能同時發生的兩個事件叫互斥事件. 如果事件A、B互斥，那么事件A+B發生(即A、B中有一個發生)的概率，等于事件A、B分別發生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推廣：.

②對立事件：兩個事件必有一個發生的互斥事件叫對立事件. 例如：從1～52張撲克牌中任取一張抽到“紅桃”與抽到“黑桃”互為互斥事件，因為其中一個不可能同時發生，但又不能保證其中一個必然發生，故不是對立事件.而抽到“紅色牌”與抽到黑色牌“互為對立事件，因為其中一個必發生.

注意：i.對立事件的概率和等于1：.

ii.互為對立的兩個事件一定互斥，但互斥不一定是對立事件.

③相互獨立事件：事件A(或B)是否發生對事件B(或A)發生的概率沒有影響.這樣的兩個事件叫做相互獨立事件. 如果兩個相互獨立事件同時發生的概率，等于每個事件發生的概率的積，即P(A?B)=P(A)?P(B). 由此，當兩個事件同時發生的概率P（AB）等于這兩個事件發生概率之和，這時我們也可稱這兩個事件為獨立事件.例如：從一副撲克牌（52張）中任抽一張設A：“抽到老K”；B：“抽到紅牌”則 A應與B互為獨立事件[看上去A與B有關系很有可能不是獨立事件，但.又事件AB表示“既抽到老K對抽到紅牌”即“抽到紅桃老K或方塊老K”有，因此有.

推廣：若事件相互獨立，則.

注意：i. 一般地，如果事件A與B相互獨立，那么A 與與B，與也都相互獨立.

ii. 必然事件與任何事件都是相互獨立的.

iii. 獨立事件是對任意多個事件來講，而互斥事件是對同一實驗來講的多個事件，且這多個事件不能同時發生，故這些事件相互之間必然影響，因此互斥事件一定不是獨立事件.

④獨立重復試驗：若n次重復試驗中，每次試驗結果的概率都不依賴于其他各次試驗的結果，則稱這n次試驗是獨立的. 如果在一次試驗中某事件發生的概率為P，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發生k次的概率：.

4. 對任何兩個事件都有

二、隨機變量.

1. 隨機試驗的結構應該是不確定的.試驗如果滿足下述條件：

①試驗可以在相同的情形下重復進行；②試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；③每次試驗總是恰好出現這些結果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現哪一個結果.

它就被稱為一個隨機試驗.

2. 離散型隨機變量：如果對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.若ξ是一個隨機變量，a，b是常數.則也是一個隨機變量.一般地，若ξ是隨機變量，是連續函數或單調函數，則也是隨機變量.也就是說，隨機變量的某些函數也是隨機變量.

設離散型隨機變量ξ可能取的值為：

ξ取每一個值的概率，則表稱為隨機變量ξ的概率分布，簡稱ξ的分布列.

…

…

P

…

…

有性質①；  ②.

注意：若隨機變量可以取某一區間內的一切值，這樣的變量叫做連續型隨機變量.例如：即可以取0～5之間的一切數，包括整數、小數、無理數.

3. ⑴二項分布：如果在一次試驗中某事件發生的概率是P，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發生k次的概率是：[其中] 

于是得到隨機變量ξ的概率分布如下：我們稱這樣的隨機變量ξ服從二項分布，記作～B（n?p），其中n，p為參數，并記.

⑵二項分布的判斷與應用.

①二項分布，實際是對n次獨立重復試驗.關鍵是看某一事件是否是進行n次獨立重復，且每次試驗只有兩種結果，如果不滿足此兩條件，隨機變量就不服從二項分布.

②當隨機變量的總體很大且抽取的樣本容量相對于總體來說又比較小，而每次抽取時又只有兩種試驗結果，此時可以把它看作獨立重復試驗，利用二項分布求其分布列.

4. 幾何分布：“”表示在第k次獨立重復試驗時，事件第一次發生，如果把k次試驗時事件A發生記為，事A不發生記為，那么.根據相互獨立事件的概率乘法分式：于是得到隨機變量ξ的概率分布列.

1

2

3

…

k

…

P

q

qp

…

…

我們稱ξ服從幾何分布，并記，其中

5. ⑴超幾何分布：一批產品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取件，則其中的次品數ξ是一離散型隨機變量，分布列為.〔分子是從M件次品中取k件，從N-M件正品中取n-k件的取法數，如果規定＜時，則k的范圍可以寫為k=0，1，…，n.〕

⑵超幾何分布的另一種形式：一批產品由 a件次品、b件正品組成，今抽取n件（1≤n≤a+b），則次品數ξ的分布列為.

⑶超幾何分布與二項分布的關系.

設一批產品由a件次品、b件正品組成，不放回抽取n件時，其中次品數ξ服從超幾何分布.若放回式抽取，則其中次品數的分布列可如下求得：把個產品編號，則抽取n次共有個可能結果，等可能：含個結果，故，即～.[我們先為k個次品選定位置，共種選法；然后每個次品位置有a種選法，每個正品位置有b種選法] 可以證明：當產品總數很大而抽取個數不多時，，因此二項分布可作為超幾何分布的近似，無放回抽樣可近似看作放回抽樣.

三、數學期望與方差.

1. 期望的含義：一般地，若離散型隨機變量ξ的概率分布為

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…

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…

P

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…

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…

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則稱為ξ的數學期望或平均數、均值.數學期望又簡稱期望.數學期望反映了離散型隨機變量取值的平均水平.

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2. ⑴隨機變量的數學期望：

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①當時，，即常數的數學期望就是這個常數本身.

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②當時，，即隨機變量ξ與常數之和的期望等于ξ的期望與這個常數的和.

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③當時，，即常數與隨機變量乘積的期望等于這個常數與隨機變量期望的乘積.

ξ

0

1

P

q

p

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⑵單點分布：其分布列為：.

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⑶兩點分布：，其分布列為：（p + q = 1）

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⑷二項分布： 其分布列為～.（P為發生的概率）

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⑸幾何分布：  其分布列為～.（P為發生的概率）

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3.方差、標準差的定義：當已知隨機變量ξ的分布列為時，則稱為ξ的方差. 顯然，故為ξ的根方差或標準差.隨機變量ξ的方差與標準差都反映了隨機變量ξ取值的穩定與波動，集中與離散的程度.越小，穩定性越高，波動越小.

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4.方差的性質.

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⑴隨機變量的方差.（a、b均為常數）

ξ

0

1

P

q

p

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⑵單點分布： 其分布列為

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⑶兩點分布： 其分布列為：（p + q = 1）

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⑷二項分布：

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⑸幾何分布：  

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5. 期望與方差的關系.

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⑴如果和都存在，則

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⑵設ξ和是互相獨立的兩個隨機變量，則

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⑶期望與方差的轉化：    ⑷（因為為一常數）.

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四、正態分布.（基本不列入考試范圍）

1.密度曲線與密度函數：對于連續型隨機變量ξ，位于x軸上方，ξ落在任一區間內的概率等于它與x軸.直線與直線所圍成的曲邊梯形的面積

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（如圖陰影部分）的曲線叫ξ的密度曲線，以其作為

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圖像的函數叫做ξ的密度函數，由于“”

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是必然事件，故密度曲線與x軸所夾部分面積等于1.

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2. ⑴正態分布與正態曲線：如果隨機變量ξ的概率密度為：. （為常數，且），稱ξ服從參數為的正態分布，用～表示.的表達式可簡記為，它的密度曲線簡稱為正態曲線.

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⑵正態分布的期望與方差：若～，則ξ的期望與方差分別為：.

⑶正態曲線的性質.

①曲線在x軸上方，與x軸不相交.

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②曲線關于直線對稱.

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③當時曲線處于最高點，當x向左、向右遠離時，曲線不斷地降低，呈現出“中間高、兩邊低”的鐘形曲線.

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④當＜時，曲線上升；當＞時，曲線下降，并且當曲線向左、向右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線，向x軸無限的靠近.

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⑤當一定時，曲線的形狀由確定，越大，曲線越“矮胖”.表示總體的分布越分散；越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.

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3. ⑴標準正態分布：如果隨機變量ξ的概率函數為，則稱ξ服從標準正態分布. 即～有，求出，而P（a＜≤b）的計算則是.

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注意：當標準正態分布的的X取0時，有當的X取大于0的數時，有.比如則必然小于0，如圖. 

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⑵正態分布與標準正態分布間的關系：若～則ξ的分布函數通

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常用表示，且有.

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4.⑴“3”原則.

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假設檢驗是就正態總體而言的，進行假設檢驗可歸結為如下三步：①提出統計假設，統計假設里的變量服從正態分布.②確定一次試驗中的取值是否落入范圍.③做出判斷：如果，接受統計假設. 如果，由于這是小概率事件，就拒絕統計假設.

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⑵“3”原則的應用：若隨機變量ξ服從正態分布則 ξ落在內的概率為99.7％ 亦即落在之外的概率為0.3％，此為小概率事件，如果此事件發生了，就說明此種產品不合格（即ξ不服從正態分布）.

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