專題五: 排列.組合.二項式定理.概率與統計余杭中學謝綱[考點審視]1．突出運算能力的考查.高考中無論是排列.組合.二項式定理和概率題目.均是用數值給出的選擇支或要求用數值作答.這就要求平時要重——青夏教育精英家教網—

專題五：排列、組合、二項式定理、概率與統計

余杭中學謝綱

【考點審視】

1．突出運算能力的考查。高考中無論是排列、組合、二項式定理和概率題目，均是用數值給出的選擇支或要求用數值作答，這就要求平時要重視用有關公式進行具體的計算。

2．有關排列、組合的綜合應用問題。這種問題重點考查邏輯思維能力，它一般有一至兩個附加條件，此附加條件有鮮明的特色，是解題的關鍵所在；而且此類問題一般都有多種解法，平時注意訓練一題多解；它一般以一道選擇題或填空題的形式出現，屬于中等偏難（理科）的題目。

3．有關二項式定理的通項式和二項式系數性質的問題。這種問題重點考查運算能力，特別是有關指數運算法則的運用，同時還要注意理解其基本概念，它一般以一道選擇題或填空題的形式出現，屬于基礎題。

4．有關概率的實際應用問題。這種問題既考察邏輯思維能力，又考查運算能力；它要求對四個概率公式的實質深刻理解并準確運用；文科僅要求計算概率，理科則要求計算分布列和期望；它一般以一小一大（既一道選擇題或填空題、一道解答題）的形式出現，屬于中等偏難的題目。

5．有關統計的實際應用問題。這種問題主要考查對一些基本概念、基本方法的理解和掌握，它一般以一道選擇題或填空題的形式出現，屬于基礎題。

【疑難點撥】

1．知識體系：

2．知識重點：

（1）分類計數原理與分步計數原理。它是本章知識的靈魂和核心，貫穿于本章的始終。

（2）排列、組合的定義，排列數公式、組合數公式的定義以及推導過程。排列數公式的推導過程就是位置分析法的應用，而組合數公式的推導過程則對應著先選（元素）后排（順序）這一通法。

（3）二項式定理及其推導過程、二項展開式系數的性質及其推導過程。二項式定理的推導過程體現了二項式定理的實質，反映了兩個基本計數原理及組合思想的具體應用，二項展開式系數性質的推導過程就對應著解決此類問題的通法――賦值法（令）的應用。

（4）等可能事件的定義及其概率公式，互斥事件的定義及其概率的加法公式，相互獨立事件的定義及其概率的乘法公式，獨立重復試驗的定義及其概率公式�；コ馐录母怕始臃ü綄诸愊嗉佑嫈翟淼膽茫嗷オ毩⑹录母怕食朔ü綄植较喑擞嫈翟淼膽�。

（5）（理科）離散型隨機變量的定義，離散型隨機變量的分布列、期望和方差。

（6）簡單隨機抽樣、系統抽樣、分層抽樣，總體分布，正態分布，線性回歸。

2．知識難點：

(1) 排列、組合的綜合應用問題。突破此難點的關鍵在于：在基本思想上強調兩個基本原理（分類相加計數原理和分步相乘計數原理）在本章知識中的核心地位；在通法上要求，首先要認真審題，分清是排列（有序）還是組合（無序），或二者兼而有之；其次要抓住問題的本質特征，準確合理地利用兩個基本原理進行“分類與分步”，分類時要不重不漏，分步時要獨立連續。在兩個公式的應用中要深刻理解其定義中的“所有”的含義，特別是組合數“”已包含了個元素“所有”可能的組合的個數，故在平均分堆過程中就會產生重復，而平均分配給不同的對象過程中就不用再排序。同時在本節中要注意強調轉化化歸數學思想的應用。

(2) 二項式定理的計算。突破此難點的關鍵在于：熟記指數的運算法則和二項展開式的通項公式，深刻理解“第項”“常數項”“有理項”“二項式系數”“系數”等基本概念的區別與聯系。

(3) 概率、分布列、期望和方差的計算。突破此難點的關鍵在于：首先要運用兩個基本原理認真審題，弄清楚問題屬于四種類型事件中的哪一種，然后準確地運用相應的公式進行計算，其中要注意排列、組合知識的應用。（理科）對于分布列要熟記一個基本型（）和三個特殊型（，二項分布，幾何分布）的定義和有關公式；此類問題解題思維的的流程是：要求期望，則必先求分布列，而求分布列的難點在于求概率，求概率的關鍵在于要真正弄清每一個隨機變量“”所對應的具體隨機試驗的結果。

【經典題例】

例1：將名學生分配到甲、乙兩個宿舍中，每個宿舍至少安排名學生，那么互不相同的分配方法共有多少種？

[思路分析] 根據宿舍的人數，可分為三類：“”型不同的分配方法有種；“”型不同的分配方法有種；“”型不同的分配方法有種。則由加法原理得，不同的分配方法共有種。

[簡要評述] 本題體現了“先選后排”通法的應用，屬于排列組合混合問題。要注意（不）平均分配與（不）平均分堆的聯系與區別。

例2：在正方形中，分別為各

邊的中點，為正方形中心，在此圖中的九個點中，以其中三個點為頂點作三角形，在這些三角形中，

互不全等的三角形共有多少個？

[思路分析] 根據三角形的類型分為三類：直角三角

形有共種；以邊

為底的三角形共種；過中點和中心的三角形有共種。由加法原理得，共有種不同類型的三角形。

[簡要評述] 本題體現了“轉化化歸數學思想”的應用，屬于排列組合中的幾何問題，在具體方法上是運用了“窮舉法（將所有的情形全部列出）”。

例3：在多項式的展開式中，含項的系數為多少？

[思路分析]

解1 ，所以含項的系數為。

解2 ，所以含項的系數為。

解3 由組合原理。

[簡要評述] 本題重點考查對二項式定理的本質的理解和運算能力。

例4：從數字中，隨機抽取個數字（允許重復）組成一個三位數，其各位數字之和等于的概率為多少？

[思路分析] 本題的基本事件是由個不同的數字允許重復而且含的條件下組成三位數，根據乘法原理可知基本事件的全體共有個。設三個數字之和等于的事件為，則分為六類：數碼組成不同的三位數有個；數碼組成不同的三位數有個；數碼組成不同的三位數有個；數碼組成不同的三位數有個；數碼組成不同的三位數有個；數碼組成不同的三位數有個，根據加法原理，事件共有