1．如果復數的模為，則    6    .

2．已知集合，則        .

3．拋物線的焦點坐標為        .

4．如圖所示，一個水平放置的“靶子”共由10個同心圓構成，其半徑分別為1┩、2┩、3┩、…、10┩，最內的小圓稱為10環區，然后從內向外的圓環依次為9環區、8環區、…、1環區，現隨機地向“靶子”上撒一粒豆子，則豆子落在8環區的概率為       .

5．某幾何體的底部為圓柱，頂部為圓錐，其主視圖如圖所示，若，則該幾何體的體積為            .

6．如圖所示的程序框圖，如果輸入三個實數，要求輸出這三個數中最大的數，那么在空白的判斷框中，應該填入的內容是           .

7．將函數的圖象向左平移個單位后，所得的函數恰好是偶函數，則的值為            .

8．已知函數，數列滿足，且數列是遞增數列，則實數的取值范圍是       （2，3）   .

9．圖（1）、（2）、（3）、（4）分別包含1個、5個、13個、25個第二十九屆北京奧運會吉祥物“福娃迎迎”，按同樣的方式構造圖形，設第個圖形包含個“福娃迎迎”，則

=         .（答案用數字或的解析式表示）

10．已知遞增的等比數列滿足，且的等差中項，若，則數列的前項和=         .

11．在邊長為1的菱形中，，E、F分別是BC、CD的中點，DE交AF于點H ，則=           .

12．若關于的方程的兩個實數根滿足,則的取值范圍是             .

13．若橢圓上任一點到其上頂點的最大距離恰好等于該橢圓的中心到其準線的距離，則該橢圓的離心率的取值范圍是            .

14．已知定義在R上的函數滿足，當時，. 若對任意的，不等式組均成立，則實數k的取值范圍是       .

第II卷（解答題）

15．(本小題滿分14分)

如圖所示，角為鈍角，且，點分別在角的兩邊上．

（Ⅰ）若，求的長；

（Ⅱ）設，且，求的值．

解：（Ⅰ）因為角為鈍角，且，所以…………………………2分

在中，由，

得………………………………………………5分

解得或(舍)，即的長為2………………………………………7分

（Ⅱ）由，得…………………………………………………9分

又，………………………………11分

所以

……………………………………………………………………14分

16．(本小題滿分14分)

某高中地處縣城，學校規定家到學校的路程在10里以內的學生可以走讀，因交通便利，所以走讀生人數很多.該校學生會先后5次對走讀生的午休情況作了統計，得到如下資料：

①     若把家到學校的距離分為五個區間：，則調查數據表明午休的走讀生分布在各個區間內的頻率相對穩定，得到了如右圖所示的頻率分布直方圖；

②     走讀生是否午休與下午開始上課的時間有著密切的關系. 下表是根據5次調查數據得到的下午開始上課時間與平均每天午休的走讀生人數的統計表.

下午開始上課時間

1：30

1：40

1：50

2：00

2：10

平均每天午休人數

250

350

500

650

750

 （Ⅰ）若隨機地調查一位午休的走讀生，其家到學校的路程(單位：里)在的概率是多少？

（Ⅱ）如果把下午開始上課時間1：30作為橫坐標0，然后上課時間每推遲10分鐘，橫坐標x增加1，并以平均每天午休人數作為縱坐標y，試根據表中的5列數據求平均每天午休人數與上課時間x之間的線性回歸方程；

（Ⅲ）預測當下午上課時間推遲到2：20時，家距學校的路程在6里路以上的走讀生中約有多少人午休？

解答：（Ⅰ）…………………………………………………4分

（Ⅱ）根據題意，可得如下表格：

x

0

1

2

3

4

y

250

350

500

650

750

則

所以………8分

再由，得，故所求線性回歸方程為……………………10分

（Ⅲ）下午上課時間推遲到2：20時，，，

此時，家距學校的路程在6里路以上的走讀生中約有133人（134人）……………………14分

17．(本小題滿分14分)如圖甲，在直角梯形中，，，，是的中點. 現沿把平面折起，使得（如圖乙所示），、分別為、邊的中點.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）在上找一點，使得平面.

解答：（Ⅰ）證：因為PA⊥AD,PA⊥AB,，所以平面……………4分

（Ⅱ）證：因為,A是PB的中點，所以ABCD是矩形，又E為BC邊的中點，所以AE⊥ED。又由平面,得,且,所以平面，而平面，故平面平面…………………………………………………………9分

（Ⅲ）過點作∥交于，再過作∥交于,連結。

由∥,平面,得∥平面；

由∥，平面，得∥平面，

又，所以平面∥平面……………………………………………12分

再分別取、的中點、，連結、，易知是的中點，是的中點，從而當點滿足時，有平面�！�……………………………………14分

18．(本小題滿分16分)

    已知圓，相互垂直的兩條直線、都過點.

（Ⅰ）若、都和圓相切，求直線、的方程；

（Ⅱ）當時，若圓心為的圓和圓外切且與直線、都相切，求圓的方程；

（Ⅲ）當時，求、被圓所截得弦長之和的最大值.

解答：（Ⅰ）顯然，、的斜率都是存在的，設，則

……………………………………………………………………………………………1分

則由題意，得，………………………………………………3分

解得且 ，即且……………………………5分

∴、的方程分別為與或與……………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）設圓的半徑為，易知圓心到點的距離為，

∴………………………………………………………9分

解得且，∴圓的方程為………………………11分

（Ⅲ）當時，設圓的圓心為，、被圓所截得弦的中點分別為，弦長分別為，因為四邊形是矩形，所以,即

，化簡得…………………………………14分

從而，

即、被圓所截得弦長之和的最大值為…………………………………16分

19．(本小題滿分16分)

設函數.

（Ⅰ）求證：當時，；

（Ⅱ）存在，使得成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）若對恒成立，求的取值范圍．

解答：（Ⅰ）解答：(Ⅰ)因為當時，，

所以在上單調遞減，………………………………………………………3分

又，所以當時，……………………………………………4分

(Ⅱ) 因為，所以，

由(Ⅰ)知，當時，，所以………………………6分

所以在上單調遞減，則當時，………………………8分

由題意知，在上有解，所以，從而………………………10分

（Ⅲ）由得對恒成立，

①當時，不等式顯然成立………………………………………………………11分

②當時，因為，所以取，則有，從而此時不等式不恒成立…………………………………………………………………………12分

③當時，由(Ⅱ)可知在上單調遞減，而，

∴，    ∴成立………………………………………14分

④當時，當時，，則

，∴不成立，

綜上所述，當或時，有對恒成立。

………………………………………………………………………………………………16分

20．(本小題滿分16分)

數列滿足.

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）當為某等差數列的第1項，第項，第+7項，且，求與；

（Ⅲ）求證：數列中能抽取出一個子數列成等比數列的充要條件是為有理數.

解答：（Ⅰ）當時，，∴……2分

當時，，∴…………………………………………4分

∴…………………………………………5分

（Ⅱ）當時，，則該等差數列的公差為

，∴，

即                                              ①

又，所以，即        ②

由①知，為整數或分母為7的既約分數；由②知，為整數或分母為2的既約分數，從而必為整數………………………………………………………………………7分

由②知，，結合①得，，所以只能取7，故，………8分

又由②得，，設

則，

因為

所以當時，，又，

從而，故在上單調遞增。

則由，知在上無解…………………………10分

又，，，

所以或，

綜上所述，當，且或時滿足條件……………………………………………11分

（Ⅲ）①必要性。若中存在一個子數列成等比數列，設為其中的連續三項。因為，所以，則

……………………………………………………12分

⑴當時，，即，則，矛盾；

⑵當時，，則，所以必要性成立………………13分

②充分性。若為有理數，因為，所以可取足夠大的正整數，使

，因為也為有理數，故可設（其中為互質正整數）。

現構造等比數列，使得首項，公比，則

…………………………………………14分

因為，

所以，

從而，

設，則為正整數，

則，故必為中的項，即等比數列是的子數列，所以充分性也成立。

綜合①②知，原命題成立�！�…………………………………………………………………16分

數學附加題

21．[選做題] 在A、B、C、D四小題中只能選做2題,每小題10分,計20分.請把答案寫在答題紙的指定區域內.

    A.（選修4―1：幾何證明選講）

如圖，四邊形ABCD內接于圓，弧弧，過A點的切線交CB的延長線于E點．

求證：．

證：連結,因為切圓于，所以∠EAB＝∠ACB。

因為弧弧，所以∠ACD＝∠ACB，AB＝AD，于是∠EAB＝∠ACD………………5分

又四邊形ABCD內接于圓，所以∠ABE＝∠D，所以△ABE∽CDA.

于是,即，所以…………………………10分

B．（選修4―2：矩陣與變換）

已知矩陣  ,A的一個特征值，其對應的特征向量是.

   （Ⅰ）求矩陣；

（Ⅱ）若向量，計算的值.

解：（Ⅰ）  ……………………………………………………………3分

（Ⅱ）矩陣A的特征多項式為  ，

解得……………………………………………………………6分

當時，得；當時，得，

由，得，得…………………………………8分

∴

…………………………………………………10分

C．（選修4―4：坐標系與參數方程）

已知某圓的極坐標方程為ρ² －4ρcos(θ－)＋6=0．

（Ⅰ）將極坐標方程化為普通方程，并選擇恰當的參數寫出它的參數方程；

（Ⅱ）若點在該圓上，求的最大值和最小值．

解答：（Ⅰ）； （為參數）……………5分

（Ⅱ）因為，所以其最大值為6，最小值為2……………10分

D.（選修4―5：不等式選講）

   設均為正實數．

（Ⅰ）若，求的最小值；

（Ⅱ）求證：.

解答：（Ⅰ）解：因為均為正實數，由柯西不等式得

，當且僅當時等號成立，∴的最小值為………………………………………………5分

（Ⅱ）∵均為正實數，∴，當時等號成立；

則，當時等號成立；

，當時等號成立；

三個不等式相加得，，當且僅當時等號成立。

……………………………………………………………………10分

[必做題] 第22、23題,每小題10分,計20分.請把答案寫在答題紙的指定區域內.

22．（本小題滿分10分）

如圖所示，已知曲線，曲線 與關于點對稱，且曲線與交于點O、A，直線與曲線、、軸分別交于點、、，連結.

（Ⅰ）求曲邊三角形（陰影部分）的面積_;

（Ⅱ）求曲邊三角形（陰影部分）的面積.

解答：（Ⅰ）易得曲線的方程為…………………………………………2分

由，得點，又由已知得………………4分

故………………………………………6分

（Ⅱ）………………………10分

23． (本小題滿分10分)

已知為等差數列，且，公差.

（Ⅰ）試證：；；；

（Ⅱ）根據（Ⅰ）中的幾個等式，試歸納出更一般的結論，并用數學歸納法證明.

解答：（Ⅰ）略……………………………………………………………………3分

（Ⅱ）結論：………………………5分

證：①當時，等式成立，

②假設當時，成立，

那么當時，因為，所以

，

所以，當時，結論也成立。

綜合①②知，對都成立…………10分