1．集合（其中i為虛數單位），，且，則實數的值為  (    )

A．              B．            C．或          D．

2．某中學高一年級有學生1200人，高二年級有學生900人，高三年級有學生1500人,現用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為720的樣本進行某項調查，則高二年級應抽取的學生數為（    ）

A．180              B．240             C．480             D．720

3．在邊長為1的等邊中，設，則（    ）

   A．           B．0          C．          D．3

4．如圖是某幾何體的三視圖，其中正視圖是腰長為2的等腰三角形，

俯視圖是半徑為1的半圓，則該幾何體的體積是（     ）

A．      B．   C．      D．

5．下列命題錯誤的是（     ）

A．命題“若，則方程有實根”的逆否命題為：“若方程無實根，則”。

B．“”是“”的充分不必要條件。

C．命題“若，則中至少有一個為零”的否定是：“若，則都不為零”。

D．對于命題，使得；則是，均有。

6．直線與圓的位置關系是（    ）

   A．相離          B．相交           C．相切            D．不確定

7．設集合，分別從集合和中隨機取一個數和，確定平面上的一個點，記“點落在直線上”為事件，若事件的概率最大，則的可能值為（    ）

A．3                    B．4                     C．2和5               D．3和4

8. 已知函數的定義域為[―2，，部分對應值如下表，為的導函數，函數的圖象如右圖所示：

   ―2

   0

4

1

―1

1

若兩正數滿足，則的取值范圍是（    ）

A．         B．           C．          D．

第Ⅱ卷  非選擇題（共110分）

9. 已知，若，,則      。

10.已知流程圖如右圖所示，該程序運行后，為使輸出的值為，則循環體的判斷框內①處應填           。

11. 以、為焦點的橢圓＝１（）上

一動點P，當最大時的正切值為2，

則此橢圓離心率e的大小為      。

12. 已知等差數列的前項和為，且，，則過點和N^*)的直線的斜率是__________。

（★請考生在以下三個小題中任選做二題作答，三題全答的，只計算前兩題得分．）

13．極坐標系中，曲線和相交于點，則＝　　　　　　．

14．函數的最大值是         。

15．如圖，已知：內接于，點在

的延長線上，是⊙的切線，若，

，則的長為         。

16．（本小題滿分12分）

已知函數．

（Ⅰ）求函數的周期和最大值；

（Ⅱ）已知，求的值．

17．（本小題滿分14分）

統計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量（升）關于行駛速度（千米/小時）的函數解析式可以表示為：．已知甲、乙兩地相距100千米

       （Ⅰ）當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？

       （Ⅱ）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？

18．（本小題滿分12分）

已知關于的一元二次函數

    （Ⅰ）設集合P={1，2， 3}和Q={－1，1，2，3，4}，分別從集合P和Q中隨機取一個數作為和，求函數在區間[上是增函數的概率；

（Ⅱ）設點（，）是區域內的隨機點，求函數上是增函數的概率。

19．（本小題滿分14分）

如圖，在四棱錐E－ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，

AB=BC=CE=2CD=2，∠BCE=120⁰，F為AE中點。

(Ⅰ) 求證：平面ADE⊥平面ABE ；

(Ⅱ) 求二面角A―EB―D的大小的余弦值；

（Ⅲ）求點F到平面BDE的距離。

20．（本小題滿分14分）

如圖，已知直線l：與拋物線C：交于A，B兩點，為坐標原點，。

（Ⅰ）求直線l和拋物線C的方程；

（Ⅱ）拋物線上一動點P從A到B運動時，

求△ABP面積最大值．

21．（本小題滿分14分）

已知數列的首項，，．

（Ⅰ）求的通項公式；

（Ⅱ）證明：對任意的，，；

（Ⅲ）證明：．

惠州市2009屆高三模擬考試數學試題

（理科）評分標準

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

B

A

C

D

C

D

A

B

1、解析：則中的復數必須為實數，所以m=3；實部恰為-9, ∴選：B

2、解析：抽取學生數為（人）。∴選A。

3、解析：，故選C。

4、解析：由三視圖知幾何體的直觀圖是半個圓錐，

，∴選D．

5、解析：命題的否定是只否定結論，∴選C.

6、解析：圓心（0，0）到直線的距離，     圓的半徑為1，可能相切或相交。故選D。

7、解析：P點取法總共有16種，由圖知直線截距為3時經過的點最多；∴選A．

8、解析：由題意，函數的圖象大致如圖，

    ，

則由不等式組所表示的區域如圖所示，

的取值范圍即區域內的點與

連線的斜率的取值范圍，

，故選B。

二．填空題（本大題共7小題，每小題5分，滿分30分．其中13～15題是選做題，考生只需選做二題作答，三題全答的，只計算前兩題得分．）

9、3      10、   3（注：答題卡填的是也給5分）  11、 

12、4       13、     14、4    15、 4

9、解析：或（舍去），故

10、解析：=1時進入循環此時=2¹=2，=2時再進入循環此時=2²=4，=3時再進入循環此時=2⁴=16，∴=4時應跳出循環，∴循環滿足的條件為，∴填3。

（注：答題卷上填的是也給5分）

11、解析：當最大時P為橢圓與y軸的交點，的正切值為2，即，∵，則橢圓離心率e為。

12、解析：由消去得。直線的斜率為，∴填4．

13、解析：在平面直角坐標系中，曲線和分別表示圓和直線，作圖易知＝。

14、解析：

15、解析：連結，則，且由知為正三角形，所以。又因為是⊙的切線，即，所以

16．（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）

＝．…………………………………………………… 3分

∴周期為，        …………………………………………………… 4分

最大值為6    …………………………………………………………………… 5分

（Ⅱ）由，得．………………… 6分

∴．     …………………………… 7分

∴，       ………………………………………………… 8分

即            ………… 9分

，    ………………………………………………………10分

∴．  …………………………………………………… 12分

17．（本小題滿分14分）

解：（I）當時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，     ………………2分

      要耗油（升）。      ………………4分

 答：當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升。…6分

     （II）當速度為千米/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，設耗油量為升，

        依題意得

 ………8分

     令得  ……10分

當時，是減函數； 當時，是增函數。

 當時，取到極小值   …………………………12分

         因為在上只有一個極值，所以它是最小值。

答：當汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少為11.25升。14分

18．（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）∵函數的圖象的對稱軸為

要使在區間上為增函數，

當且僅當>0且        …………………………………………2分

若=1則=－1，

若=2則=－1，1

若=3則=－1，1；                 …………………………………………4分

∴事件包含基本事件的個數是1+2+2=5

∴所求事件的概率為             …………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知當且僅當且>0時，

函數上為增函數，

依條件可知試驗的全部結果所構成的區域為

構成所求事件的區域為三角形部分。    …………………………………………8分

由 …………………………………………10分

∴所求事件的概率為 …………………………………………12分

19.(本小題滿分14分)

解法1：(Ⅰ)證明：取BE的中點O，連OC，OF，DF，則2OFBA ………………2分

∵AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，∴2CD BA，

∴OFCD，∴OC∥FD      ………………4分

∵BC=CE，∴OC⊥BE，又AB⊥平面BCE.

∴OC⊥平面ABE. ∴FD⊥平面ABE.

從而平面ADE⊥平面ABE.     ………………6分

(Ⅱ)二面角A―EB―D與二面角F―EB―D相等，由(Ⅰ)知二面角F―EB―D的平面角為∠FOD。BC=CE=2, ∠BCE=120⁰，OC⊥BE得BO=OE=，OC=1，∴OFDC為正方形，∴∠FOD=45⁰，

∴二面角A―EB―D的余弦值為。   ……………………10分

（Ⅲ）∵OFDC為正方形，∴CF⊥OD，CF⊥EB，∴CF⊥面EBD，

∴點F到平面BDE的距離為FC，∴點F到平面BDE的距離為�！�…………14分

解法2：取BE的中點O，連OC.∵BC=CE, ∴OC⊥BE，又AB⊥平面BCE.

以O為原點建立如圖空間直角坐標系O－xyz，

則由已知條件有: ，，

 ……………………………2分

設平面ADE的法向量為，

則由?

及?

可取                 …………………………… 4分

又AB⊥平面BCE，∴AB⊥OC，OC⊥平面ABE，

∴平面ABE的法向量可取為＝.

∵??=0, ∴⊥，∴平面ADE⊥平面ABE.…… 6分

（Ⅱ）設平面BDE的法向量為，

則由?

及?可取……… 7分

∵平面ABE的法向量可取為＝                         …………8分

∴銳二面角A―EB―D的余弦值為=，………… 9分

∴二面角A―EB―D的余弦值為。          ……………………………10分

（Ⅲ）點F到平面BDE的距離為�！�…………………………14分

20．（本小題滿分14分）

解：（Ⅰ）由得,              ……………………2分

設則

因為=

所以解得                      ………………4分

所以直線的方程為拋物線C的方程為        …………6分

（Ⅱ）方法1：設依題意，拋物線過P的切線與平行時，△APB面積最大，

，所以 所以

此時到直線的距離  ………………8分

由得，                ………………………10分

∴△ABP的面積最大值為。     …………………………14分

（Ⅱ）方法2：由得，           ……………………8分

……9分

設 ，

因為為定值，當到直線的距離最大時，△ABP的面積最大，

               ……………………………12分

因為，所以當時，_max=，此時

∴△ABP的面積最大值為�！�…………………………14分

21．(本小題滿分14分)

解法一：（Ⅰ），，，                                ……………………2分

又，是以為首項，為公比的等比數列．     ………3分

，．               ……………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，               ……………………5分

， 原不等式成立．………………8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，對任意的，有

．     ……………………10分

取，…………12分

則．

原不等式成立．                           ……………………14分

解法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）設，     ……………………5分

則…………6分

，當時，；當時，，

當時，取得最大值．

原不等式成立．                                ……………………8分

（Ⅲ）同解法一．