北京市東城區2008――2009學年度
高二年級數學選修課程模塊2-2測試題(理科卷)
一、選擇題:本大題共12小題.每小題4分,共48分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.計算的結果是( )
A.
B.
C.
D.
2.拋物線在點
處的切線方程是( )
A. B.
C.
D.
3.在復平面內,復數對應的點位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.設函數,則
等于( )
A. B.
C.
D.
5. 計算的結果是( )
A. B.
C.
D.
,若
,則
的值等于( )
A. B.
C.
D.
6B.函數的極大值為
,那么
的值是( )
A. B.
C.
D.
7. 一質點做直線運動,由始點經過后的距離為
,則速度為
的時刻是( )
A. B.
C.
與
D.
與
8. 有一段演繹推理是這樣的:“直線平行于平面,則此直線平行于平面內的所有直線;已知直線平面
,直線
平面
,直線
平面
,則直線
直線
” .結論顯然是錯誤的,這是因為( )
A.大前提錯誤 B.推理形式錯誤 C.小前提錯誤 D.非以上錯誤
9. 右圖是函數的導函數
的圖象,
給出下列命題:
①是函數
的極值點;
②是函數
的最小值點;
③在
處切線的斜率小于零;
④在區間
上單調遞增.
則正確命題的序號是( )
A.①② B.①④ C.②③ D.③④
10. 由直線,
,曲線
及
軸所圍成的圖形的面積是( )
A. B.
C.
D.
11.設是定義在正整數集上的函數,且
滿足:“當
成立時,總可以推出
成立”.那么,下列命題總成立的是( )
A.若成立,則當
時,均有
成立
B.若成立,則當
時,均有
成立
C.若成立,則當
時,均有
成立
D.若成立,則當
時,均有
成立
12.已知數列滿足
,
,則
( )
A. B.
C.
D.
二、填空題:本大題共4小題,每小題4分,共16分.將答案填在題中橫線上.
13. 若復數為純虛數,則實數
____________.
14. 用演繹法證明在區間
為增函數時的大前提是____________.
15. 在平面,到一條直線的距離等于定長(為正數)的點的集合是與該直線平行的兩條直線.這一結論推廣到空間則為:在空間,到一個平面的距離等于定長的點的集合是 .
16.曲線在點
處的切線與
軸、直線
所圍成的三角形的面積為__________.
三、解答題:本大題共3小題,共36分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. (本小題滿分12分)
已知二次函數在
處取得極值,且在
點處的切線與直線
平行.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)求函數的單調遞增區間.
設,
,
.
(Ⅰ)求,
,
的值;
(Ⅱ)歸納的通項公式,并用數學歸納法證明.
18B. (本小題滿分12分)
在數列中,
,且
,
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)歸納的通項公式,并用數學歸納法證明.
已知函數.
(Ⅰ)求的最小值;
(Ⅱ)若對所有都有
,求實數
的取值范圍.
19 B. (本小題滿分12分)
已知函數
(Ⅰ)求函數的單調減區間;
(Ⅱ)若不等式對一切
恒成立,求
的取值范圍.
北京市東城區2008――2009學年度
高二年級數學選修課程模塊2-2測試題(理科卷)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題4分,共48分)
1.B 2.A 3.B 4.A 5.D 6.C
7.C 8.A 9.B 10.D 11.D 12.B
二、填空題(本大題共4小題,每小題4分,共16分)
13. 14.增函數的定義 15.與該平面平行的兩個平面 16.
三、解答題(本大題共3小題,每小題12分,共36分)
17.(本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)由,可得
.
由題設可得
即
解得,
.
所以.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
(Ⅱ)由題意得,
所以.
令,得
,
.
所以函數的單調遞增區間為
,
.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
解:(Ⅰ),
,
.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
(Ⅱ)根據計算結果,可以歸納出 .
當時,
,與已知相符,歸納出的公式成立.
假設當(
)時,公式成立,即
,
那么,.
所以,當時公式也成立.
綜上,對于任何
都成立. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
18B. (本小題滿分12分)
解:(Ⅰ),因為
,
所以,
,解得
,
同理.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
(Ⅱ)根據計算結果,可以歸納出
.
當時,
,與已知相符,歸納出的公式成立.
假設當(
)時,公式成立,即
.
由可得,
.
即 .
所以.
即當時公式也成立.
綜上,對于任何
都成立. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
(Ⅰ)解:的定義域為
,
的導數
.
令,解得
;令
,解得
.
從而在
單調遞減,在
單調遞增.
所以,當時,
取得最小值
. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 6分
(Ⅱ)依題意,得在
上恒成立,
即不等式對于
恒成立.
令,
則.
當時,因為
,
故是
上的增函數, 所以
的最小值是
,
從而的取值范圍是
. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
19B. (本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)由于
當時,
,
令,可得
.
當時,
,
可知.
所以函數的單調減區間為
. ………………………………………………6分
(Ⅱ)設
當時,
,
令,可得
,即
;
令,可得
.
可得為函數
的單調增區間,
為函數
的單調減區間.
當時,
,
所以當時,
.
可得為函數
的單調減區間.
所以函數的單調增區間為
,單調減區間為
.
函數的最大值為
,
要使不等式對一切
恒成立,
即對一切
恒成立,
又,
可得的取值范圍為
. ………………………………………………12分
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