(2)f′(t)=-t²+.                           6分

即f(t)=-(t³-t)(0<t<1).                       4分

f(t)=S_△ABD+S_△OBD=|BD|?|1-0|=|BD|=(-2t³+3t-t³)=(-3t³+3t),

解 (1)解方程組

得交點O、A的坐標分別為(0,0)、(1,1).         2分

19.(本小題滿分10分)如右圖,已知曲線C₁:y=x³(x≥0)與曲線C₂:y=-2x³+3x(x≥0)交于點O、A,直線x=t(0<t<1)與曲線C₁、C₂分別相交于點B、D.

(1)寫出四邊形ABOD的面積S與t的函數關系S=f(t);

(2)討論f(t)的單調性,并求f(t)的最大值.

分析 本題主要考查如何以四邊形的面積為載體構造目標函數、函數的導數、函數的單調性等基礎知識,考查運算能力和利用導數研究函數的單調性,從而確定函數的最值.

∴函數解析式為f(x)=x²+2x+1.   10分

∴Δ=4-4c=0,即c=1.           8分

由條件f′(x)=2x+2,得a=1,b=2.

∴f(x)=x²+2x+c.               5分

∵方程f(x)=0有兩個相等實根,

18.(本小題滿分10分)設y=f(x)是二次函數,方程f(x)=0有兩個相等的實根且f′(x)=2x+2,求f(x)的表達式.

分析 本題主要考查導數運算的逆運用.利用待定系數法設函數解析式,代入條件求解.

解 設f(x)=ax²+bx+c(a≠0),      2分

∴f′(x)=2ax+b.               3分

f′(1)=    8分