S₃=+=;

S₂=+=;

解 S₁==;

17.★(本小題滿分8分)已知數列,,,…,,…,計算S₁,S₂,S₃,S₄,根據計算結果,猜想S_n的表達式,并用數學歸納法進行證明.

分析 本題考查觀察、分析、歸納、發現規律的能力,考查數學歸納法在等式證明中的應用.在用觀察法求數列的通項公式時,要注意觀察項與項數的關系.

16.(本小題滿分8分)求證:aⁿ⁺¹+(a+1)^2n-1能被a²+a-1整除(n∈N*).

分析 數學歸納法可以證明與正整數n有關的命題,常見的恒等式、不等式的命題可用數學歸納法證明,其他的如整除、幾何方面的命題也可用數學歸納法證明.在證明n=k+1時,“配湊”的技巧掌握很重要,要有目的去“配湊”倍數式子,以及假設n=k時的式子.

證明 (1)當n=1時,a²+(a+1)=a²+a+1可被a²+a+1整除;

(2)假設n=k(k∈N*)時,

a^k+1+(a+1)^2k-1能被a²+a+1整除,     2分

則當n=k+1時,

a^k+2+(a+1)^2k+1

=a?a^k+1+(a+1)²(a+1)^2k-1

=a?a^k+1+a?(a+1)^2k-1+(a²+a+1)(a+1)^2k-1         5分

=a［a^k+1+(a+1)^2k-1］+(a²+a+1)(a+1)^2k-1,

由假設可知a［a^k+1+(a+1)^2k-1］能被a²+a+1整除.

∴a^k+2+(a+1)^2k+1也能被a²+a+1整除,       7分

即n=k+1時命題也成立.

∴對n∈N*原命題成立.                 8分

=(k+1)［(k+1)+1］［2(k+1)+1］,    6分

即n=k+1時,命題成立.              7分

由(1)、(2)可知,命題對所有n∈N*都成立.     8分

=(k+1)(k+2)(2k+3)

=(k+1)(2k²+7k+6)

=(k+1)［k(2k+1)+6(k+1)］

2²+4²+…+(2k)²+(2k+2)²=k(k+1)(2k+1)+4(k+1)²    3分