2²+4²+6²+…+(2k)²=k(k+1)(2k+1),      2分

那么當n=k+1時,

證明 (1)當n=1時,左邊=2²=4,右邊=×1×2×3=4,

∴左邊=右邊,即n=1時,命題成立.       1分

(2)假設當n=k(k∈N*)時命題成立,即

15(本小題滿分8分)用數學歸納法證明2²+4²+6²+…+(2n)²=n(n+1)(2n+1).

分析 用數學歸納法證明代數恒等式的關鍵是分清等式兩邊的構成情況,合理運用歸納假設.

答案 1+++…+＜(n≥2)

14.觀察下列式子:1+＜,1++＜,1+++＜,…,則可以猜想其結論為             .

解析 解答本類題的關鍵是分清所給式子的結構特點,確定出不等式右邊的項中分子、分母同項數的關系.

分析 分清被除數的構成情況是解決本題的關鍵.當自變量取n時,被除數是5n項的和,其指數從0依次增加到5n-1.

解 當n=k+1時,被除數為1+2+2²+…+2^5k-1+2^5k+2^5k+1+…+2^5k+4,

從n=k到n=k+1增加的項為2^5k+2^5k+1+2^5k+2+2^5k+3+2^5k+4.

答案 2^5k+2^5k+1+2^5k+2+2^5k+3+2^5k+4

13.★在用數學歸納法證明1+2+2²+…+2^5n-1(n∈N*)是31的倍數的命題時,從k到k+1需要添加的項是            .

12.用數學歸納法證明n∈N*時,3⁴ⁿ⁺²+5²ⁿ⁺¹被14整除的過程中,當n=k+1時,對3^4(k+1)+2+5^2(k+1)+1可變形為          .

分析 用數學歸納法證明整除性問題時,可把n=k+1時的被除式變形為一部分能利用歸納假設的形式,另一部分能被除式整除的形式.

解3^4(k+1)+2+5^2(k+1)+1=3^4k+6+5^2k+3=3^4k+6+3⁴?5^2k+1+5^2k+3-3⁴?5^2k+1=3⁴(3^4k+2+5^2k+1)-56?5^2k+1.

答案 81(3^4k+2+5^2k+1)-56?5^2k+1

11.用數學歸納法證明“1+a+a²+…+aⁿ⁺¹=(a≠1且n∈N*)”,在驗證n=1時,左邊計算所得的結果是.

解析 本題考查數學歸納法的應用.用數學歸納法證題的前提是分清等式兩邊的構成情況.就本題而言,它的左邊是按a的升冪排列的,共有(n+2)項,故當n取第一個值時,共有1+2=3項,它們的和應是1+a+a².

答案 1+a+a²

由2-＞,知＜,n最小取8.

答案 B

第Ⅱ卷(非選擇題共60分)