Question

6．等腰△ABC中，AC=BC，D為BC外一點，連BD、CD，設∠ACB=∠ADB=α．
（1）如圖（a），當α=60°時，寫出AD，BD，CD三線段之間的數量關系．
（1）如圖（b），當α=90°時，寫出AD，BD，CD三線段之間的數量關系．
（1）如圖（c），當α=120°時，寫出AD，BD，CD三線段之間的數量關系．

Answer 1

分析 （1）在AD上取一點M使得CM=CD，先證明△MCD是等邊三角形，再證明△ACM≌△BCD即可．
（2）在AD上取一點M使得CM=CD，先證明△MCD是等腰直角三角形，再證明再證明△ACM≌△BCD即可．
（3）在AD上取一點M使得CM=CD，先證明MD=$\sqrt{3}$CD，再證明△ACM≌△BCD即可．

解答 解：（1）結論AD=BD+CD．理由如下：
在圖（a）中，在AD上取一點M使得CM=CD，
∵CA=CB，∠ACB=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AC=CB=AB，∠ABC=60°，
∵∠ACB=∠ADB，
∴A、B、D、C四點共圓，
∴∠CDA=∠ABC=60°，
∵CM=CD，
∴△CMD是等邊三角形，
∴CM=CD=MD，
∵∠ACB=∠MCD=60°，
∴∠ACM=∠BCD，
在△ACM和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CM=CD}\\{∠ACM=∠BCD}\\{CA=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△BCD，
∴AM=BD，
∴AD=AM+DM=BD+CD．
（2）結論AD-BD=$\sqrt{2}$CD．理由如下：
在圖（b）中，在AD上取一點M使得CM=CD，
∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∵∠ACB=∠ADB，
∴A、B、D、C四點共圓，
∴∠CDA=∠ABC=45°，
∵CM=CD，
∴△CMD是等腰直角三角形，
∴∠MCD=90°，DM=$\sqrt{2}$CD，
∵∠ACB=∠MCD=90°，
∴∠ACM=∠BCD，
在△ACM和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CM=CD}\\{∠ACM=∠BCD}\\{CA=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△BCD，
∴AM=BD，
∴AD=AM+DM=BD+$\sqrt{2}$CD，
∴AD-BD=$\sqrt{2}$CD．
（3）結論AD-BD=$\sqrt{3}$CD．理由如下：
如圖（c），在AD上取一點M使得CM=CD，
∵CA=CB，∠ACB=120°，
∴∠ABC=30°
∵∠ACB=∠ADB，
∴A、B、D、C四點共圓，
∴∠CDA=∠ABC=30°，
∵CM=CD，
∴∠CMD=∠CDM=30°，∠MCD=120°，易知DM=$\sqrt{3}$CD，
∵∠ACB=∠MCD=120°，
∴∠ACM=∠BCD，
在△ACM和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CM=CD}\\{∠ACM=∠BCD}\\{CA=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△BCD，
∴AM=BD，
∴AD=AM+MD=BD+$\sqrt{3}$CD，
∴AD-BD=$\sqrt{3}$CD．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、等邊三角形的判定和性質、等腰直角三角形的判定和性質，探究形變后結論發生什么變化，通過構造特殊三角形，利用三角形全等解決問題．