Question

18．一個邊長為4cm的等邊三角形ABC與⊙O等高，如圖放置，⊙O與BC相切于點C，⊙O與AC相交于點E．
（1）求CE的長；
（2）將⊙O在射線CB上向左滾動，當⊙O與AB相切時，則圓心O經過的距離是多少（直接寫出結論）．

Answer 1

分析 （1）連接OC，并過點O作OF⊥CE于F，求出等邊三角形的高即可得出圓的直徑，繼而得出OC的長度，在Rt△OFC中，可得出FC的長，利用垂徑定理即可得出CE的長；
（2）設⊙O與AB相切于E，與BC相切于F，由平移的性質得到CF的長度即為圓心O經過的距離，由于∠OFC=90°，∠C=30°，于是得到CF=$\frac{1}{2}OC$，推出△AOE≌△COF，得到AO=OC=$\frac{1}{2}$AC=2，即可得到結論．

解答 解：（1）如圖1，連接OC，并過點O作OF⊥CE于F，
∵△ABC為等邊三角形，邊長為4cm，
∴△ABC的高為2$\sqrt{3}$cm，
∴OC=$\sqrt{3}$cm，
又∵∠ACB=60°，
∴∠OCF=30°，
在Rt△OFC中，可得FC=$\frac{3}{2}$cm，
即CE=2FC=3cm；

（2）如圖2，設⊙O與AB相切于E，與BC相切于F，
∴CF的長度即為圓心O經過的距離，
∵∠OFC=90°，∠C=30°，
∴CF=$\frac{1}{2}OC$，
在△AOE與△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C=60°}\\{∠AEO=∠CFO=90°}\\{OE=OF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF，
∴AO=OC=$\frac{1}{2}$AC=2，
∴CF=1cm，
∴圓心O經過的距離是1cm．

點評 本題主要考查了切線的性質，等邊三角形的性質和解直角三角形的有關知識，題目不是太難，屬于基礎性題目．