Question

【題目】己知拋物線與x軸交于A，B兩點（點d在點B的右側），與y軸交于點，頂點為D.

（I）求該拋物線的解析式及頂點D的坐標：

（Ⅱ）Q為線段BD上一點，點A關于∠AQB的平分線的對稱點為A'，

①判斷點A'與直線BQ的位置關系：點 （填寫“在”或“不在”）直線BQ上：

②若，求點2的坐標：

（Ⅲ）若此拋物線的對稱軸上的點P滿足，求點P的坐標。

Answer 1

【答案】（I），頂點D的坐標為；（II）①在； ②點Q的坐標為；（Ⅲ）點P的坐標為或

【解析】

（1）將C點代入函數解析式，可求出解析式，并進行配方，即可得到定點坐標；

（2）①由對稱的角度特點及角平線即可判斷A'與直線BQ的位置關系；

②先求出拋物線與x軸胡交點，在求出BD的解析式，從而得到E點坐標，根據，A’點坐標，從而，建立方程即可求解.

（3）作△ABC的外接圓，由題意可知P在圓I與二次函數的對稱軸上，再根據內心的特點得，從而建立方程得到I胡坐標，根據即可求解.

解：（I）把點C的坐標代入地物線解析式，得，

解得

故該拋物線的解析式為

∴頂點D的坐標為

（II）①在

②∵點A關于的平分線的對稱點為

三點在一條直線上，且

當時，

解得

設直線BD的解析式為，

由，得直線BD的解析式為

直線BD與y軸交點為

作軸于點N

∵點Q在線段BD上，三點在一條直線上，

∴點的坐標為

∵點Q在線段BD上，

設點Q的坐標為，其中

解得

在內

∴點Q的坐標為

（Ⅲ）作△ABC的外接圓，設與拋物線的對軸位于x軸下方的部分的交點為點P，點P關于x軸的對稱點為點

可知圓心I必在AB邊的垂直平分線即拋物線的對稱輔直線上

都是所對的圓周角，

設圓心

由，得

點P的坐標為

由對稱性得點的坐標為

符合題意的點P的坐標為或