Question

4．如圖，點O是等邊△ABC內一點，∠AOB=100°，∠BOC=α，D是△ABC外一點，且△BOC≌△ADC，連接OD．
（1）△COD是什么三角形？說明理由；
（2）若AO=n²+1，AD=n²-1，OD=2n（n為大于1的整數），求α的度數．
（3）當α為多少度時，△AOD是等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）根據全等三角形的性質得到CO=CD，∠BCO=∠ACD，由等邊三角形的性質得到∠ACB=60°，求得∠OCD=∠ACB=60°；即可得到結論；
（2）根據全等三角形的性質得到∠ADC=∠BOC根據勾股定理的逆定理得到∠ADO=90°，于是得到∠ADC=150°，即可得到結論；
（3）分三種情況：：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，根據周角的定義得到∠ADO=α-60°，得到方程190°-α=α-60°求得α=125°；②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．由于∠AOD=190°-α，∠ADO=α-60°，于是得到α-60°=50°求得α=110°；③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．由于190°-α=50°于是得到α=140°．

解答 （1）證明：∵△BOC≌△ADC，
∴CO=CD，∠BCO=∠ACD，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠OCD=∠ACB=60°；
∴△COD是等邊三角形，

（2）解：∵△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC
∵AO=n²+1，AD=n²-1，OD=2n，
∴AO²=（n²+1）²=（n²-1）²+（2n）²=AD²+OD²，
∴∠ADO=90°，
又∵△COD是等邊三角形，
∴∠ODC=60°，
∴∠ADC=150°，
∴α=150°；

（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO．
∵∠AOD=360°-∠AOB-∠COD-α=360°-100°-60°-α=200°-α，∠ADO=α-60°，
∴200°-α=α-60°
∴α=130°；
②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．
∵∠AOD=200°-α，∠ADO=α-60°，
∴∠OAD=180°-（∠AOD+∠ADO）=40°，
∴α-60°=40°
∴α=100°；
③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．
∵200°-α=40°
∴α=160°．
綜上所述：當α的度數為130°，或100°，或160°時，△AOD是等腰三角形．

點評 本題考查了全等三角形的性質，等邊三角形的性質，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定，熟練掌握全等三角形的性質定理是解題的關鍵．