Question

【題目】橢圓：的左、右焦點分別是，，離心率為，左、右頂點分別為，.過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為1.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）經過點的直線與橢圓相交于不同的兩點、（不與點、重合），直線與直線相交于點，求證：、、三點共線.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）根據已知可得，結合離心率和關系，即可求出橢圓的標準方程；

（2）斜率不為零，設的方程為，與橢圓方程聯立，消去，得到縱坐標關系，求出方程，令求出坐標，要證、、三點共線，只需證，將分子用縱坐標表示，即可證明結論.

（1）由于，將代入橢圓方程，

得，由題意知，即.

又，所以，.

所以橢圓的方程為.

（2）解法一：

依題意直線斜率不為0，設的方程為，

聯立方程，消去得，

由題意，得恒成立，設，，

所以，

直線的方程為.令，得.

又因為，，

則直線，的斜率分別為，，

所以.

上式中的分子

，

.所以，，三點共線.

解法二：

當直線的斜率不存在時，由題意，得的方程為，

代入橢圓的方程，得，，

直線的方程為.

則，，，

所以，即，，三點共線.

當直線的斜率存在時，

設的方程為，，，

聯立方程消去，得.

由題意，得恒成立，故，.

直線的方程為.令，得.

又因為，，

則直線，的斜率分別為，，

所以.

上式中的分子

所以.

所以，，三點共線.