Question

【題目】（1）寫出命題“兩個有理數的和是有理數”的逆命題、否命題、逆否命題；

（2）判斷上述四個命題的真假，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）原命題是真命題，逆命題是假命題，否命題是假命題，逆否命題是真命題

【解析】

（1）要寫出一個命題的其他三種形式，首先要將原命題改寫成“如果……，那么……”的形式，再根據逆命題、否命題、逆否命題的定義，寫出其他三種形式的命題；

（2）先判斷出原命題和逆命題的真假，真命題進行證明，假命題可舉出反例，然后利用互為逆否的兩個命題同真假，去判斷否命題和逆否命題的真假.

（1）原命題可改寫成：如果兩個數都是有理數，那么這兩個數的和是有理數．

逆命題：如果兩個數的和是有理數，那么這兩個數都是有理數；

否命題：如果兩個數不都是有理數，那么這兩個數的和不是有理數；

逆否命題：如果兩個數的和不是有理數，那么這兩個數不都是有理數．

（2）原命題是真命題，證明如下：

設，都是有理數，則令，（，，，，且），

．

∵，，且，∴是有理數．

由于逆否命題與原命題是等價命題，所以逆否命題也是真命題．

逆命題是假命題，其反例如下：

設，，則是有理數，但，都不是有理數．

由于逆命題與否命題是等價命題，所以否命題也是假命題．