Question

【題目】已知函數，，函數，若的圖象上相鄰兩條對稱軸的距離為，圖象過點.

（1）求表達式和的單調增區間；

（2）將函數的圖象向右平移個單位，再將圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到函數的圖象，若函數在區間上有且只有一個零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 的單調增區間為， (2) 或.

【解析】分析：（1）由題意，求得 ，進而求得，，即可得到函數的解析式，求得其單調遞增區間；

（2）根據三角函數的圖象變換，得到函數，進而求得函數在區間上的值域為，要使得函數在區間上有且只有一個零點，只需函數的圖象和直線有且只有一個零點，即可求得結論.

詳解：（1） ，

，

的最小正周期為，∴，

∵的圖象過點，∴.

∴，即，

令，，求得，，

故的單調增區間為，.

（2）將函數的圖象向右平移個單位，可得

的圖象；

再將圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到函數

的圖象.

在區間上，，∴，

故在區間上的值域為，

若函數在區間上有且只有一個零點，

由題意可得，函數的圖象和直線有且只有一個零點，并根據圖象可知，或.