Question

【題目】如圖，在四棱錐中，已知四邊形是菱形，，，，二面角的大小為，是的中點．

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）連接交于點，連接，根據三角形的中位線定理證得，然后利用線面平行的判定定理證明即可；

（2）先根據（1）得到直線與平面所成的角，即直線與平面所成的角，然后過點作，利用面面垂直的性質定理得到平面，進而得為直線與平面所成的角，最后求的正弦值即可．

（1）如圖所示：

連接交于點，則是的中點，連接．

又是的中點，所以，

因為平面，平面，

所以平面．

（2）過點作，垂足為，連接．

由（1）知，

所以直線與平面所成的角，即直線與平面所成的角．

易知，又是的中點，

所以．

同理，又，

所以平面，

因為平面，

所以平面平面．

因為平面平面，平面，，

所以平面，

所以為直線與平面所成的角．

因為，所以，又，，

所以平面ACP，

所以為二面角的平面角，

所以，

設菱形的邊長，又，

所以，

由余弦定理得：，

所以，

在中，，，，

所以，

所以直線與平面所成角的正弦值為．