【題目】已知函數
，
為
的導函數．
（1）證明：當
時，
；
（2）若
是函數
＝
在
內零點，求證：
．
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【解析】
（1）先寫出
的解析式，
，得到在
，
上，
單調遞增．對求導，得
，得到在，上，單調遞減，令
，
，求導，分析單調性，可得
，進而證明
．
（2）由題可知
在
，
有根①，令
，則
，，可得
，因為
，由（1）得單調性，所以
，又因為（1）可知
上，單調遞減，可得
又因為
，化簡即可得證．
（1）證明：，
當
時，
，
所以在上，單調遞增．
，
在上，
，單調遞減，
令，
，
，
，
當時，
，
單調遞減，
所以
，
所以．
（2）證明：若
是函數
在
內零點，
則
在有根，
所以
在有根，
即在有根，①
令，則
，
，
又因為①式成立，所以，
因為，
由（1）可知在上，單調遞增，所以，
由（1）可知上，單調遞減，
所以
由（1）可知；
所以
又因為①式成立，得
，
所以
．
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列
的前
項和為
，
，
，
，
.
（1）若
，
，求
的值；
（2）若數列的前
項成公差不為0的等差數列，求的最大值；
（3）若
，是否存在，使為等比數列？若存在，求出所有符合題意的
的值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2019年是新中國成立七十周年，新中國成立以來，我國文化事業得到了充分發展，尤其是黨的十八大以來，文化事業發展更加迅速，下圖是從2013 年到 2018 年六年間我國公共圖書館業機構數（個）與對應年份編號的散點圖（為便于計算，將 2013 年編號為 1，2014 年編號為 2，…，2018年編號為 6，把每年的公共圖書館業機構個數作為因變量，把年份編號從 1 到 6 作為自變量進行回歸分析），得到回歸直線
，其相關指數
，給出下列結論，其中正確的個數是( )
①公共圖書館業機構數與年份的正相關性較強
②公共圖書館業機構數平均每年增加13.743個
③可預測 2019 年公共圖書館業機構數約為3192個
A.0B.1C.2D.3
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】中國古代十進制的算籌計數法，在數學史上是一個偉大的創造，算籌實際上是一根根同長短的小木棍．如圖，是利用算籌表示數
的一種方法．例如：3可表示為“
”，26可表示為“
”．現有6根算籌，據此表示方法，若算籌不能剩余，則可以用這9數字表示兩位數的個數為
A.13B.14C.15D.16
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】楊輝三角，又稱帕斯卡三角，是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，在我國南宋數學家楊輝所著的《評解九章算法》（
年）一書中用如圖所示的三角形解釋二項式乘方展開式的系數規律，現把楊輝三角中的數從上到下，從左到右依次排列，得數列：
，，，，
，，，
，，，，
，
，，……．記作數列
，若數列的前
項和為
，則
＝（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，其導函數為
.
（1）討論函數
在定義域內的單調性；
（2）已知
，設函數
.
①證明：函數
在
上存在唯一極值點
；
②在①的條件下，當
時，求
的范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司訂購了一批樹苗，為了檢測這批樹苗是否合格，從中隨機抽測100株樹苗的高度，經數據處理得到如圖（1）所示的頻率分布直方圖，其中最高的16株樹苗的高度的莖葉圖如圖（2）所示，以這100株樹苗的高度的頻率估計整批樹苗高度的概率.
（1）求這批樹苗的高度高于
米的概率，并求圖（1）中
，
，
的值；
（2）若從這批樹苗中隨機選取3株，記
為高度在
的樹苗數量，求的分布列和數學期望；
（3）若變量
滿足
且
，則稱變量滿足近似于正態分布
的概率分布.如果這批樹苗的高度滿足近似于正態分布
的概率分布，則認為這批樹苗是合格的，將順利被簽收，否則，公司將拒絕簽收.試問：該批樹苗能否被簽收？
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