Question

【題目】已知函數在其定義域內有兩個不同的極值點.

（1）求函數a的取值范圍；

（2）記函數的兩個極值點為，，且，證明對任意實數，都有不等式成立.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見詳解.

【解析】

（1）將函數有兩個極值點的問題，轉化為導函數有兩個零點的問題，再轉化為函數圖像有交點的問題，利用導數的幾何意義求得臨界狀態時直線的斜率即可求得參數范圍；

（2）根據的單調性，將問題轉化為求證，再構造函數，根據其單調性，即可證明.

（1）依題

有兩個不同的極值點，即有兩個不等實根.

亦即函數與圖象在上有兩個不同交點

若令過原點且與圖象相切的直線斜率為k，則只需

設切點為，則，而

故，于是，所以

（2）證明：令則

由時，，單調遞增

時，，單調遞減

知是的極大值點

故且

等價于

∵，∴

故只需證即可

令，

則

故

∵∴，，∴

∴在單調遞增∴

∴∵∴

又∵∴

又∵，且在單調遞增

∴∴即原不等式成立