Question

【題目】若函數， ，對于給定的非零實數，總存在非零常數，使得定義域內的任意實數，都有恒成立，此時為的類周期，函數是上的級類周期函數．若函數是定義在區間內的2級類周期函數，且，當時， 函數．若， ，使成立，則實數的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據題意，由函數f（x）在[0，2）上的解析式，分析可得函數f（x）在[0，2）上的最值，

結合a級類周期函數的含義，分析可得f（x）在[6，8]上的最大值，對于函數g（x），對其

求導分析可得g（x）在區間（0，+∞）上的最小值；進而分析，將原問題轉化為g（x）min

≤f（x）max的問題，即可得+m≤8，解可得m的取值范圍，即可得答案．

根據題意，對于函數f（x），當x∈[0，2）時，

分析可得：當0≤x≤1時，f（x）=﹣2x2，有最大值f（0）=，最小值f（1）=﹣，

當1＜x＜2時，f（x）=f（2﹣x），函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱，則此時有﹣＜

f（x）＜，

又由函數y=f（x）是定義在區間[0，+∞）內的2級類周期函數，且T=2；

則在∈[6，8）上，f（x）=23f（x﹣6），則有﹣12≤f（x）≤4，

則f（8）=2f（6）=4f（4）=8f（2）=16f（0）=8，

則函數f（x）在區間[6，8]上的最大值為8，最小值為﹣12；

對于函數 ，有g′（x）=﹣+x+1=，

分析可得：在（0，1）上，g′（x）＜0，函數g（x）為減函數，

在（1，+∞）上，g′（x）＞0，函數g（x）為增函數，

則函數g（x）在（0，+∞）上，由最小值f（1）=+m，

若x1∈[6，8]，x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，

必有g（x）min≤f（x）max，即+m≤8，

解可得m≤，即m的取值范圍為（﹣∞，]；

故答案為：B