Question

【題目】設數列的前項和為，若（），則稱是“緊密數列”.

（1）已知數列是“緊密數列”，其前5項依次為，求的取值范圍；

（2）若數列的前項和為（），判斷是否是“緊密數列”，并說明理由；

（3）設是公比為的等比數列，若與都是“緊密數列”，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) (2) 是“緊密數列”(3)

【解析】試題分析：

（1）由題意得到關于x的不等式組，求解不等式組可得.

（2）由題意可得．則，結合反比例函數的性質討論可得，則是“緊密數列”．

（3）由題意， 是“緊密數列”，所以．分類討論：

①當時數列為“緊密數列”， 滿足題意．

②當時，結合等比數列前n項和公式有，對任意恒成立．討論可得：（�。┊�時，滿足題意；（ⅱ）當時， 不存在．

則的取值范圍是．

試題解析：

（1）由題意得： ，所以.

（2）由數列的前項和，

得．

所以， ，

因為對任意， ，即，所以， ，

即是“緊密數列”．

（3）由數列是公比為的等比數列，得，

因為是“緊密數列”，所以．

①當時， ，因為，

所以時，數列為“緊密數列”，故滿足題意．

②當時， ，則，因為數列為“緊密數列”，

所以，對任意恒成立．

（�。┊�時， ，

即，對任意恒成立．

因為， ， ，

所以， ，

所以，當時， ，對任意恒成立．

（ⅱ）當時， ,即，對任意

恒成立．因為．所以，解得，

又，此時不存在．

綜上所述， 的取值范圍是．