Question

【題目】已知函數，其中

（1）若函數在區間上不單調，求的取值范圍；

（2）若函數在區間上有極大值，求的值.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）由函數，其中x＞0，a∈R．可得．由題意可得：在區間（1，+∞）上有解，分離參數可得： 上有解．設，利用到時討論其的單調性即可得出．
（2）當a≥0時，函數f（x）在[1，+∞）上單調遞增，此時無極值．

當時，函數f（x）在[1，+∞）上單調遞減，此時無極值．

當時，，得.．（其中）

．所以函數f（x）在[1，α）上單調遞減，在（α，β）上單調遞增，在（β，+∞）上單調遞減，由極大值，又aβ2+β-1=0，消去a利用導數研究函數的單調性進而得出．

（1）因為，

所以上有解，

所以 上有解.

設

所以函數在上是減函數，在上是增函數，

所以

經驗證，當時，函數上單調，

所以.

（2）當 所以.

當時， 所以.

當時，由，得.

（其中）

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，

由極大值.

又

設函數，則，

所以函數在上單調遞增.

而所以

故當時，.