Question

【題目】如圖所示的幾何體中，正方形所在平面垂直于平面，四邊形為平行四邊形，G為上一點，且平面，.

(1)求證：平面平面；

(2)當三棱錐體積最大時，求平面與平面所成二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析

(2)

【解析】

(1)利用面面垂直的性質定理可以得到線面垂直，然后得到線線垂直，再由已知的線面垂直得到線線垂直，利用線面垂直的判斷定理得到線面垂直，最后利用面面垂直的判定定理證明出面面垂直；

(2)通過三棱錐的體積公式，由等積法可以得到：求三棱錐體積的最大值，只需求的最大值．設出兩個線段的長，建立空間直角坐標系，利用空間向量的數量積公式可以求出平面與平面所成二面角的余弦值，最后利用同角的三角函數關系式中的平方和關系求出平面與平面所成二面角的正弦值.

(1)證明：因為平面平面，平面平面，

四邊形正方形，即，平面，

所以平面，

又因為平面，所以，

因為平面，平面，

所以，

因為，平面，

所以平面，

因為平面，

所以平面平面．

(2)解：，

求三棱錐體積的最大值，只需求的最大值．

令，，

由(1)知，，

所以，當且僅當，

即時，，

以中點為坐標原點建立空間直角坐標系如圖，則

，，，

設為平面的一個法向量，

則，

可取，則，

因為四邊形為平行四邊形，為等腰直角三角形，

所以四邊形為正方形，取平面的一個法向量為，

所以，所以，

即平面與平面所成二面角的正弦值為.