Question

【題目】已知是公差為的等差數列，是公比為的等比數列.

（1）若，是否存在，有？請說明理由；

（2）若（、為常數，且）對任意，有，試求出、滿足的充要條件；

（3）若，，試確定所有，使數列中存在某個連續項的和是數列中的一項，請證明.

Answer 1

【答案】（1）不存在,理由見解析

（2），其中是大于等于的整數

（3）當為偶數時，不存在，當為奇數時，存在,證明見解析

【解析】

（1）利用數列的通項公式可得的方程，再利用奇偶性分析可得不存在滿足條件的.

（2）利用的通項公式，先取得到必要條件，再證明該條件為充分條件，從而得到原命題的充要條件.

（3）先取出中存在某個連續項的和，根據的通項的特征得到前者為不小于3的奇數，從而得到的性質.

（1）若存在，有，則，

所以，左邊是奇數，右邊是偶數，矛盾，

故不存在，使得.

（2）先考慮必要性：

因為對任意，有，取，

則即，故，其中，

令，故，其中且為整數.

所以“，且為整數”是“任意，有”成立的必要條件.

下面考慮充分性，

若，，則，

故對任意的，

總有，取，則且，

故任意，有成立.

所以“任意，有”成立的充要條件為“，且為整數”.

（3）數列中連續項的和為，

因為為中的某一項，故，

所以為不小于的奇數，故為正奇數，

而，而均為奇數，總的個數為，

所以當且僅當為奇數時，的和才為奇數，

綜上為正奇數時，存在連續項的和為中的某一項，為正偶數時，不存在連續項的和為中的某一項.