Question

【題目】在直角坐標系中，圓的方程為，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為．

（1）求圓的極坐標方程與直線的直角坐標方程；

（2）設直線與圓相交于，兩點，求圓在，處兩條切線的交點坐標．

Answer 1

【答案】（1）圓的極坐標方程為，直線的直角坐標方程為；（2）.

【解析】

（1）由題意結合直角坐標方程與極坐標方程的轉化公式可得圓的極坐標方程；轉化直線的極坐標方程為，再利用直角坐標方程與極坐標方程的轉化公式即可得直線的直角坐標方程；

（2）由題意聯立方程組可得，的坐標，結合直線與圓相切的性質、直線方程的求解即可得兩切線方程，聯立方程即可得解.

（1）圓的方程可變為，

所以圓的極坐標方程為即；

直線的極坐標方程可變為，

所以直線的直角坐標方程為即；

（2）由題意聯立方程組，解得或，

不妨設點，，設過，處的切線分別為，，

圓的圓心為，半徑為，

易得，

由直線的斜率可得直線的斜率，

所以直線的方程為即，

由可得，

所以圓在，處兩條切線的交點坐標為.