廣東省2009屆高三數學一模試題分類匯編――數列
珠海市第四中學 邱金龍(QQ:391615857)
一、選擇題
1、(2009番禺一模)已知等比數列的各項均為正數,前
項之積為
,若
=
,則必有(
。
A.=1 B.
=
=1
D.
=1
B
2、(2009江門一模)已知數列的前
項和
,
是等比數列的充要條件是
A. B
C.
D.
D
3、(2009茂名一模)已知等差數列的公差為
,且
成等比數列,則
等于( )
A、-4
B、
D
4、(2009汕頭一模)記等比數列{an}的前n項和為Sn,若S3=2,S6=18,則等于()
A. - 3 B?
D
5、(2009深圳一模)在等差數列中,
,
表示數列
的前
項和,則
A. B.
C.
D.
B
二、填空題
1、(2009廣州一模)已知數列{an}的前n項和為Sn,對任意n∈N*
都有,且1<Sk<9,則a1的值為______,k的的值為________.
-1,4
2、(2009江門一模)是等差數列
的前
項和,若
,
,
則
.
3、(2009韶關一模)在由正數組成的等比數列中,
則___.
16
三、解答題
1、(2009廣州一模)已知數列{an}的相鄰兩項an,an+1是關于x 的方程x2-2n x+ bn=0 (n∈N*)的兩根,且a1=1.
(1)求證:數列{ an-×2n}是等比數列;
(2)設Sn是數列{an}的前n項的和,問是否存在常數λ,使得bn-λSn>0對任意n∈N*都成立,若存在,求出λ的取值范圍;若不存在,請說明理由.
(本題主要考查數列的通項公式、數列前n項和、不等式等基礎知識,考查化歸與轉化、分類與整合、特殊與一般的數學思想方法,以及推理論證能力、運算求解能力和抽象概括能力)
(1)證法1:∵an,an+1是關于x 的方程x2-2n x+ bn=0 (n∈N*)的兩根,
∴
……2分
由an+an+1=2n,得,故數列
是首項為,公比為-1的等比數列.
……4分
證法2:∵an,an+1是關于x 的方程x2-2n x+ bn=0 (n∈N*)的兩根,
∴
……2分
∵,
故數列是首項為
,公比為-1的等比數列.
……4分
(2)解:由(1)得,即
,
∴
……6分
∴Sn=a1+ a2+
a3+…+ an=[(2+22+23+…+2n)-[(-1)+ (-1)2+…+(-1)n]
,
……8分
要使得bn-λSn>0對任意n∈N*都成立,
即對任意n∈N*都成立.
①當n為正奇數時,由(*)式得,
即,
∵2n+1-1>0,∴對任意正奇數n都成立.
當且僅當n=1時,有最小值1,∴λ<1.
……10分
①當n為正奇數時,由(*)式得,
即,
∵2n+1-1>0,∴對任意正奇數n都成立.
當且僅當n=1時,有最小值1,∴λ<1.
……10分
②當n為正偶數時,由(*)式得,
即,
∵2n-1>0,∴對任意正偶數n都成立.
當且僅當n=2時,有最小值1.5,∴λ<1.5.
……12分
綜上所述,存在常數λ,使得bn-λSn>0對任意n∈N*都成立,λ的取值范圍是(-∞,1). ……14分
2、(2009廣東三校一模),
是方程
的兩根,數列
的前
項和為
,且
(1)求數列,
的通項公式;
(2)記=
,求數列
的前
項和
.
解:(1)由.且
得
2分
,
4分
在中,令
得
當
時,T
=
,
兩式相減得,
6分
.
8分
(2),
9分
,
, 10分
=2
=,
13分
14分
3、(2009東莞一模)設等差數列前
項和
滿足
,且
,S2=6;函數
,且
(1)求A;
(2)求數列的通項公式;
(3)若
解:(1)由 而
解得A=1……………………………………2分
(2)令
當n=1時,a1=S1=2,當n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2+n
綜合之:an=2n…………………………………………6分
由題意
∴數列{cn+1}是為公比,以
為首項的等比數列。
………………………9分
(3)當
………………………11分
當
………13分
綜合之:
………14分
4、(2009番禺一模)設數列對一切正整數
均有
,且
,如果
,
.
(1)求,
的值;
(2)求數列的通項公式;
(3)設數列前
項之積為
,試比較
與
的大小,并證明你的結論.
(1)依題意:,則
,
而,又
,所以
,
………………1分
同樣可求得,
………………2分
(2)猜測,
)
………………4分
①用數學歸納法證明:顯然時猜想正確,
………………5分
②假設時猜想成立,即
,
則時,∵
,∴
,即
,而
故,
………………6分
這就是說猜想也成立,故對任意正整數
都有
. ………………7分
(3)
……………9分
證明: ,
則,
………10分
則
∴ ………11分
設,
,則
,
即為
上的減函數,∴
,故
時,
, ……12分
而,∴
,
∴
………13分
∴,,
則,即
.
14分
5、(2009江門一模)已知等差數列和正項等比數列
,
,
.
⑴求、
;
⑵對,試比較
、
的大。
⑶設的前
項和為
,是否存在常數
、
,使
恒成立?若存在,求
、
的值;若不存在,說明理由.
解:⑴由,得
-------1分 由
且
得
-------2分
所以,
-------4分
⑵顯然,
時,
;
時,
,
,
-------5分
時,
-------6分
-------7分
因為、
,所以
時,
-------8分
⑶-------9分,
恒成立,則有
-------11分,解得
,
-------12分
,
-------13分
所以,當,
時,
恒成立-------14分
6、(2009汕頭一模)在等比數列{an}中,an>0 (nN*),公比q
(0,1),且a
a3與as的等比中項為2。
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)設bn=log2 an,數列{bn}的前n項和為Sn當最大時,求n的值。
解:(1)因為a +
=25
又an>o,…a3+a5=5,…………………………2分
又a3與a5的等比中項為2,所以,a
而q(0,1),所以,a3>a5,所以,a3=4,a5=1,
,a1=16,所以,
…………………………6分
(2)bn=log2 an=5-n,所以,bn+1-bn=-1,
所以,{bn}是以4為首項,-1為公差的等差數列。。。。。。。。。9分
所以,
所以,當n≤8時,>0,當n=9時,
=0,n>9時,
<0,
當n=8或9時,最大! 12分
7、(2009韶關一模)已知函數
(I)求
(II)已知數列滿足
,
,求數列
的通項公式;
(Ⅲ)
求證:.
解:()因為
所以設S=(1)
S=……….(2)
(1)+(2)得:
=
, 所以S=3012
()由
兩邊同減去1,得
所以,
所以,
是以2為公差以
為首項的等差數列,
所以
因為
所以
所以
>
8、(2009深圳一模理)已知函數,
為函數
的導函數.
(Ⅰ)若數列滿足:
,
(
),求數列
的通項
;
(Ⅱ)若數列滿足:
,
(
).
(?)當時,數列
是否為等差數列?若是,請求出數列
的通項
;若不是,請說明理由;
(?)當時,
求證:
.
【解】(Ⅰ),
…………………………1分
,
即.
…………………………3分
,
數列
是首項為
,公比為
的等比數列.
,即
.
…………………………5分
(Ⅱ)(?),
.
當
時,
.
假設,則
.
由數學歸納法,得出數列為常數數列,是等差數列,其通項為
. …………8分
(?),
.
當
時,
.
假設,則
.
由數學歸納法,得出數列.……………10分
又,
,
即.
…………………………12分
.
,
.
…………………………14分
10、(2009深圳一模文)設數列的前
項和為
,
,且對任意正整數
,點
在直線
上.
(Ⅰ) 求數列的通項公式;
(Ⅱ)是否存在實數,使得數列
為等差數列?若存在,求出
的值;若不存在,則說明理由.
(Ⅲ)求證: .
解:(Ⅰ)由題意可得:
①
時,
②
…………………… 1分
①─②得,
…………………… 3分
是首項為
,公比為
的等比數列,
……………… 4分
(Ⅱ)解法一: ……………… 5分
若為等差數列,
則成等差數列, ……………… 6分
得
……………… 8分
又時,
,顯然
成等差數列,
故存在實數,使得數列
成等差數列. ……………… 9分
解法二: ……………… 5分
…………… 7分
欲使成等差數列,只須
即
便可. ……………8分
故存在實數,使得數列
成等差數列. ……………… 9分
(Ⅲ) …… 10分
………… 11分
………… 12分
又函數在
上為增函數,
,
………… 13分
,
.
……… 14分
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