試卷類型:A
2009年石家莊市高中畢業班第一次模擬考試試卷
數 學(理科)
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分,滿分150分,考試時間120分鐘.
參考公式:
如果事件、
互斥,那么
球的表面積公式
如果事件、
相互獨立,那么
其中
表示球的半徑
球的體積公式
如果事件在一次試驗中發生的概率
是,那么
次獨立重復試驗中事件
其中
表示球的半徑
恰好發生次的概率
第Ⅰ卷(選擇題 60分)
一、選擇題:本大題共12小題.每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.已知集合,且
,則實數
的取值范圍是( )
A. B.
C.
D.
2.若函數的反函數為
,則
等于( )
A. B.
C.
D.
3.在等差數列中,
,則此數列的前13項的和等于( )
A.13 B.
4.復數在復平面上對應的點位于( )
A.實軸上 B.虛軸上 C.第一象限 D.第二象限
5.已知正三棱錐中,一條側棱與底面所成的角為,則一個側面與底面所成的角為( )
A. B.
C.
D.
6.若函數的圖象關于點
對稱,則函數
一定是( )
A.奇函數 B.偶函數
C.既是奇函數又是偶函數 D.非奇非偶函數
7.某市有6名教師志愿到四川地震災區的甲、乙、丙三個鎮去支教,每人只能去一個鎮,則恰好其中一鎮去4名,另兩鎮各一名的概率為( )
A. B.
C.
D.
8.過圓上一點
作切線與
軸,
軸的正半軸交于
、
兩點,則
的最小值為( )
A. B.
C.
D.
9.某市學生的高考成績服從正態分布,平均成績
,方差為
,若全市高考錄取率為
,則錄取分數線為(已知
) ( )
A. B.
C.
D.
10.設動直線與函數
和
的圖象分別交于
、
兩點,則
的最大值為( )
A. B.
C.
D.
11.已知函數在區間
上是增函數,則實數
的取值范圍是( )
A. B.
C.
D.
12.雙曲線的左準線為
,左焦點和右焦點分別為
、
,拋物線
的準線為
,焦點為
,
與
的一個交點為
,線段
的中點為
,
是坐標原點,則
( )
A. B.
C.
D.
第Ⅱ卷 (非選擇題 共90分)
二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.
13.若對于任意的實數,都
,則實數
的值為 .
14.若棱長為的正方體
的八個頂點都在球
的表面上,則
,
兩點之間的球面距離為
.
15.函數的最小值是
.
16.給出以下四個命題:
①函數的最小值為2;
②在數列中,
,
是其前
項和,且滿足
,則數列
是等比數列;
③若,則函數
是以4為周期的周期函數;
④若函數的圖象關于點
對稱,則
的值為
.
則正確命題的序號是 。
三、解答題:本大題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
17.(本小題滿分10分)
18.(本小題滿分12分)
在中,
,
.
(Ⅰ)求;
(11)設的外心為
,若
,求
,
的值.
19.(本小題滿分12分)
在四棱錐中,底面
是
邊長為2的菱形,,
,
,
是
的中點.
(Ⅰ)證明:平面
;
(Ⅱ)求二面角的大小.
(Ⅲ)設是直線
上的動點,求點
到平面
的最大距離.
20.(本小題滿分12分)
已知函數.
(I)求的單調區間;
(Ⅱ)若存在實數,使得
成立,求實數
的取值范圍.
21.(本小題滿分12分)
已知兩點和
分別在直線
和
上運動,且
,動點
滿足:
(
為坐標原點),點
的軌跡記為曲線
.
(Ⅰ)求曲線的方程,并討論曲線
的類型;
(Ⅱ)過點作直線
與曲線
交于不同的兩點
、
,若對于任意
,都有
為銳角,求直線
的斜率
的取值范圍.
22.(本小題滿分12分)
在數列中,
,且
.
(Ⅰ)求數列的通項公式;
(Ⅱ)令,數列
的前
項和為
,試比較
與
的大;
(Ⅲ)令,數列
的前
項和為
,求證:對任意
都有
2009石家莊市高三第一次模擬考試
數學理科答案
一、A卷選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.
1.A 2. B 3. A 4. B 5.D 6.A
7. B 8.A 9. C 10. D 11.B 12.C
二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分
13. 14.
15. 1 16.③ ,④
三、解答題:本大題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
(小時)
,………………………7分
.…………………………………9分
18.(本題12分)
解: (Ⅰ)由余弦定理知:
,………2分
.……………5分
(Ⅱ)由,
知
…………………………………7分
為
的外心,
.
同理.………………………………10分
即, 解得:
……12分
19.(本題12分)
(Ⅰ)取的中點
,連結
,
.
四邊形
為菱形,
,
則……………2分
.
同理
故.……………………4分
(或用同一法可證)
(Ⅱ)先求二面角
的大小
取的中點
,
過
作
于點
,
連結.
則,
是二面角
的平面角,……6分
可求得
,
又
所以二面角的大小為
.……………………8分
法二: 過作
交
于
,
以為坐標原點,直線
、
、
分別為軸,
建立空間直角坐標系.
則(0,0,0),
,
(0,0,2),
.
,
.…………………6分
設平面的法向量為
,
則
取
=
則
.
設平面的法向量為
,
則
取
,
則.
<
,
>=
,
二面
角
的大小為
.……………………8分
(Ⅲ)先求點到平面
的最大距離.
點
到直線
的距離即為點
到平面
的距離. ……10分
過作直線
的垂線段,在所有的垂線段中長度最大為
.
為
的中點,
故點到平面
的最大距離為1.
……………………12分
20.(本題12分)
解:(Ⅰ)
(?)當時,
的單調遞增區間是(
).……………………2分
(?) 當時,令
得
當時,
當時,
的單調遞減區間是(
),
的單調遞增區間是 (
).……………………5分
(Ⅱ),
,
.
設
若存在實數,使得
成立,
則……………………8分
解得
得
,
當
時,
當
時,
在
上是減函數,在
上是增函數. …………………10分
的取值范圍是(
).…………………………………………………12分
21.(本題12分)
(I)由,得
是
的中點. …………2分
設依題意得:
消去,整理得
.
當時,方程表示焦點在
軸上的橢圓;
當時,方程表示焦點在
軸上的橢圓;
當時,方程表示圓. ……………………………5分
(II)由,焦點在
軸上的橢圓,直線
與曲線
恒有兩交點,
直線斜率不存在時不符合題意;
可設直線的方程為
,直線與橢圓交點
.
.………………7分
要使為銳角,只需
.………………9分
即,
可得,對于任意
恒成立.
而,
所以的取值范圍是
.………………12分
22(本題12分)
解:(Ⅰ),………………1分
,
即(
).………………3分
(II),
.
猜想當時,
.………………4分
下面用數學歸納法證明:
①當時,由上可知
成立;
②假設時,上式成立,即
.
當時,
所以當時成立.
由①②可知當
時,
. ………………7分
綜上所述當時,
;
當時,
;
當時,
. ………………8分
(III)
當時,
所以
+.………………12分
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區 | 電信詐騙舉報專區 | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區 | 涉企侵權舉報專區
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com