1．已知集合，且，則實數的取值范圍是（    ）

    A．    B．    C．  D．

2．若函數的反函數為，則等于（    ）

    A．   B．   C．    D．

3．在等差數列中，，則此數列的前13項的和等于（    ）

    A．13      B．26    C．8     D．16

4．復數在復平面上對應的點位于（    ）

    A．實軸上    B．虛軸上   C．第一象限   D．第二象限

5．已知正三棱錐中，一條側棱與底面所成的角為，則一個側面與底面所成的角為（    ）

    A．   B．   C．   D．

6．若函數的圖象關于點對稱，則函數一定是（    ）

    A．奇函數                  B．偶函數

    C．既是奇函數又是偶函數    D．非奇非偶函數

7．某市有6名教師志愿到四川地震災區的甲、乙、丙三個鎮去支教，每人只能去一個鎮，則恰好其中一鎮去4名，另兩鎮各一名的概率為（    ）

      A．    B．      C．    D．

8．過圓上一點作切線與軸，軸的正半軸交于、兩點，則的最小值為（    ）

    A．    B．    C．    D．

9．某市學生的高考成績服從正態分布，平均成績，方差為，若全市高考錄取率為，則錄取分數線為(已知) （    ）

    A．   B．    C．     D．

10．設動直線與函數和的圖象分別交于、兩點，則的最大值為（    ）

    A．   B．    C．    D．

11．已知函數在區間上是增函數，則實數的取值范圍是（    ）

    A．  B．  C．    D．

12．雙曲線的左準線為，左焦點和右焦點分別為、，拋物線的準線為，焦點為，與的一個交點為，線段的中點為，是坐標原點，則（    ）

    A．     B．     C．     D．

第Ⅱ卷 (非選擇題  共90分)

13．若對于任意的實數，都，則實數的值為        ．

14．若棱長為的正方體的八個頂點都在球的表面上，則，兩點之間的球面距離為         ．

15．函數的最小值是          ．

16．給出以下四個命題：

    ①函數的最小值為2；

    ②在數列中，，是其前項和，且滿足，則數列是等比數列；

    ③若，則函數是以4為周期的周期函數；

    ④若函數的圖象關于點對稱，則的值為．

    則正確命題的序號是                 。

17．(本小題滿分10分)

18．(本小題滿分12分)

    在中，， ．

   (Ⅰ)求；

  (11)設的外心為，若，求，的值．

19．(本小題滿分12分)

    在四棱錐中，底面是

邊長為2的菱形，，，

，是的中點．

    (Ⅰ)證明：平面；

    (Ⅱ)求二面角的大小．

    (Ⅲ)設是直線上的動點，求點到平面的最大距離．

20．(本小題滿分12分)

    已知函數．

    (I)求的單調區間；

    (Ⅱ)若存在實數，使得成立，求實數的取值范圍．

21．(本小題滿分12分)

    已知兩點和分別在直線和上運動，且，動點滿足： (為坐標原點)，點的軌跡記為曲線．

    (Ⅰ)求曲線的方程，并討論曲線的類型；

    (Ⅱ)過點作直線與曲線交于不同的兩點、，若對于任意，都有為銳角，求直線的斜率的取值范圍．

22．(本小題滿分12分)

    在數列中，，且．

    (Ⅰ)求數列的通項公式；

    (Ⅱ)令，數列的前項和為，試比較與的大��；

    (Ⅲ)令，數列的前項和為，求證：對任意都有

2009石家莊市高三第一次模擬考試

數學理科答案

1.A      2. B     3. A      4. B     5.D     6.A

7. B      8.A     9. C     10. D    11.B　  12.C

13．　            14．　      

15．  1                 16．③  ，④  

（小時）

,………………………7分

.…………………………………9分

18．(本題12分)

解: (Ⅰ)由余弦定理知:

,………2分

.……………5分

(Ⅱ)由,

知

…………………………………7分

為的外心，

.

同理.………………………………10分

即， 解得: ……12分

19．(本題12分)

（Ⅰ）取的中點，連結，.

四邊形為菱形,,

則……………2分

.

同理

故.……………………4分

（或用同一法可證）

（Ⅱ）先求二面角的大小

取的中點， 過作于點，

連結.

則，

是二面角的平面角，……6分

可求得，

又

所以二面角的大小為.……………………8分

法二: 過作交于，

以為坐標原點，直線、、

分別為軸，

建立空間直角坐標系.

則（0，0，0），，

（0，0，2），.

,.…………………6分

設平面的法向量為，

則

取=則.

設平面的法向量為，

則  取，

則.

＜，＞=，

二面角的大小為.……………………8分

（Ⅲ）先求點到平面的最大距離.

點到直線的距離即為點到平面的距離. ……10分

過作直線的垂線段,在所有的垂線段中長度最大為.

為的中點,

故點到平面的最大距離為1. ……………………12分

20.(本題12分)

解：（Ⅰ）

（?）當時,

的單調遞增區間是().……………………2分

(?) 當時,令得

當時，

當時，

的單調遞減區間是()，

的單調遞增區間是 ().……………………5分

(Ⅱ),

,.

設

若存在實數,使得成立,

則……………………8分

解得得,

當時,

當時,

在上是減函數,在上是增函數. …………………10分

的取值范圍是().…………………………………………………12分

21．(本題12分)

（I）由，得是的中點. …………2分

設依題意得:

消去，整理得．

當時，方程表示焦點在軸上的橢圓；

當時，方程表示焦點在軸上的橢圓；

當時，方程表示圓．       ……………………………5分

（II）由，焦點在軸上的橢圓，直線與曲線恒有兩交點，

直線斜率不存在時不符合題意；

可設直線的方程為，直線與橢圓交點.

.………………7分

要使為銳角，只需

.………………9分

即，

可得，對于任意恒成立.

而，

所以的取值范圍是.………………12分

22(本題12分)

 解:(Ⅰ)，………………1分

，

即().………………3分

（II），

.

猜想當時，.………………4分

下面用數學歸納法證明:

①當時，由上可知成立；

②假設時，上式成立，即.

當時，

所以當時成立.

由①②可知當時,. ………………7分

綜上所述當時, ;

當時, ;

當時,. ………………8分

（III）

當時，

所以

＋.………………12分