1、電場強度E

①定義：放入電場中某點的電荷受的電場力F與它的電量q的比值叫做該點的電場強度。

②數學表達式：，單位：

③電場強度E是矢量，規定正電荷在電場中某點所受電場力的方向即為該點的電場強度的方向

④場強的三個表達式

定義式

決定式

關系式

表達式

選用

范圍

對任何電場E的大小及方向都適用。與檢驗電荷的電量的大小、電性及存在與否無關。

  q：是檢驗電荷

只對真空的點電荷適用。

Q：是場源電荷的電量。

r：研究點到場源電荷的距離。

只對勻強電場適用。

U：電場中兩點的電勢差。

d：兩點間沿電場線方向的距離。

說明

電場強度是描述電場力的性質的物理量。電場E與F、q無關，取決于電場本身。

當空間某點的電場是由幾個點電荷共同激發的，則該點的電場強度等于每個點電荷單獨存在時所激發的電場在該點的場強的矢量和。

⑤比較電場中兩點的電場強度的大小的方法：

由于場強是矢量。比較電場強度的大小應比較其絕對值的大小，絕對值大的場強就大，絕對值小的場強就小。

Ⅰ在同一電場分布圖上，觀察電場線的疏密程度，電場線分布相對密集處，場強較大；電場較大；電場線分布相對稀疏處，場強較小。

Ⅱ形成電場的電荷為點電荷時，由點電荷場強公式可知，電場中距這個點電荷Q較近的點的場強比距這個點電荷Q較遠的點的場強大。

Ⅲ勻強電場場強處處相等

Ⅳ等勢面密集處場強大，等勢面稀疏處場強小

2、電勢、電勢差和電勢能

    ①定義：

電勢：在電場中某點放一個檢驗電荷q，若它具有的電勢能為E，則該點的電勢為電勢能與電荷的比值。電場中某點的電勢在數值上等于單位正電荷由該點移到零電勢點時電場力所做的功。也等于該點相對零電勢點的電勢差。

電勢差：電荷在電場中由一點A移到另一點B時，電場力做功與電荷電量q的比值，稱為AB兩點間的電勢差，也叫電壓。

電勢能：電荷在電場中所具有的勢能；在數值上等于將電荷從這一點移到電勢能為零處電場力所做的功。

②定義式：或，單位：V

                          單位：J

③說明：Ⅰ電勢具有相對性，與零電勢的選擇有關，一般以大地或無窮遠處電勢為零。

Ⅱ電勢是標量，有正負，其正負表示該的電勢與零電勢的比較是高還是低。

Ⅲ電勢是描述電場能的物理量，

④關于幾個關系

關于電勢、電勢差、電勢能的關系

電勢能是電荷與電場所共有的；電勢、電勢差是由電場本身因素決定的，與檢驗電荷的有無沒有關系。

電勢、電勢能具有相對性，與零電勢的選擇有關；電勢差具有絕對性，與零電勢的選擇無關。

關于電場力做功與電勢能改變的關系

電場力對電荷做了多少功，電勢能就改變多少；電荷克服電場力做了多少功，電勢能就增加多少，電場力對電荷做了多少正功，電勢能就減少多少，即  。

  在學習電勢能時可以將“重力做功與重力勢能的變化”作類比。

  關于電勢、等勢面與電場線的關系

  電場線垂直于等勢面，且指向電勢降落最陡的方向，等勢面越密集的地方，電場強度越大。

⑤比較電荷在電場中某兩點的電勢大小的方法：

Ⅰ利用電場線來判斷：在電場中沿著電場線的方向，電勢逐點降低。

Ⅱ利用等勢面來判斷：在靜電場中，同一等勢面上各的電勢相等，在不同的等勢面間，沿著電場線的方向各等勢面的電勢越來越低。

Ⅲ利用計算法來判斷：因為電勢差，結合

，若，則，若，則；

若，則

⑥比較電荷在電場中某兩點的電勢能大小的方法：

Ⅰ利用電場力做功來判斷：在電場力作用下，電荷總是從電勢能大的地方移向電勢能小的地方。這種方法與電荷的正負無關。

Ⅱ利用電場線來判斷：正電荷順著電場線的方向移動時，電勢能逐漸減少；逆著電場線方向移動時，電勢能逐漸增大。負電荷則相反。

電場力（庫侖力）雖然在本質上不同于重力、彈力、摩擦力，但是產生的效果是服從牛頓力學中的所有規律，所以在計算其大小、方向時應按電場的規律，而在分析力產生的效果時，應根據力學中解題思路進行分析處理。對于靜電場中的“平衡”問題，是指帶電體的加速度為零的靜止或勻速直線運動狀態，屬于“靜力學”的范疇，只是分析帶電體受的外力時除重力、彈力、摩擦力等等，還需多一種電場而已。解題的一般思維程序為：

①明確研究對象

②將研究對象隔離出來，分析其所受的全部外力，其中電場力，要根據電荷的正負及電場的方向來判斷。

③根據平衡條件或，列出方程

④解出方程，求出結果。

三、電加速和電偏轉

1、帶電粒子在電場中的加速

    在勻強電場中的加速問題   一般屬于物體受恒力（重力一般不計）作用運動問題。處理的方法有兩種：

    ①根據牛頓第二定律和運動學公式結合求解

②根據動能定理與電場力做功，運動學公式結合求解

基本方程：

    在非勻強電場中的加速問題   一般屬于物體受變力作用運動問題。處理的方法只能根據動能定理與電場力做功，運動學公式結合求解。

      基本方程：

2、帶電粒子在電場中的偏轉

    設極板間的電壓為U，兩極板間的距離為，極板長度為。

    運動狀態分析：帶電粒子垂直于勻強電場的場強方向進入電場后，受到恒定的電場力作用，且與初速度方向垂直，因而做勻變速曲線運動――類似平拋運動如圖1。

            圖1

運動特點分析：

在垂直電場方向做勻速直線運動      

在平行電場方向，做初速度為零的勻加速直線運動

通過電場區的時間：

粒子通過電場區的側移距離：

粒子通過電場區偏轉角：

帶電粒子從極板的中線射入勻強電場，其出射時速度方向的反向延長線交于入射線的中點。所以側移距離也可表示為：

這類問題關鍵在于弄清楚哪些是變量；哪些是不變量；哪些是自變量；哪些是因變量。同時要注意對公式的理解，定義式適用于任何電容器，而電容C與Q、U無關。

區分兩種基本情況：一是電容器兩極間與電源相連接，則電容器兩極間的電勢差U不變；二是電容器充電后與電源斷開，則電容器所帶的電量Q保持不變。

電容器結構變化引起的動態變化問題的分析方法    平行板電容器是電容器的一個理想化模型，其容納電荷的本領用電容C來描述，當改變兩金屬板間距d、正對面積S或其中的介質時，會引起C值改變。給兩個金屬板帶上等量異號電荷Q后，板間出現勻強電場E，存在電勢差U。若改變上述各量中的任一個，都會引起其它量的變化。若兩極板間一帶電粒子，則其受力及運動情況將隨之變化，與兩極板相連的靜電計也將有顯示等等。

解此類問題的關鍵是：先由電容定義式、平行板電容器電容的大小C與板距d、正面積S、介質的介電常數的關系式和勻強電場的場強計算式導出，，等幾個制約條件式備用。接著弄清三點：①電容器兩極板是否與電源相連接？②哪個極板接地？③C值通過什么途徑改變？若電容器充電后脫離電源，則隱含“Q不改變”這個條件；若電容器始終接在電源上，則隱含“U不改變”（等于電源電動勢）這個條件；若帶正電極板接地，則該極板電勢為零度，電場中任一點的電勢均小于零且沿電場線方向逐漸降低；若帶負電極板接地，則該極板電勢為零，電場中任一點電勢均大于零。

五、帶電粒子在勻強磁場的運動

1、帶電粒子在勻強磁場中運動規律

初速度的特點與運動規律

①    為靜止狀態

②     則粒子做勻速直線運動

③  ,則粒子做勻速圓周運動，其基本公式為：

向心力公式：

運動軌道半徑公式：；

運動周期公式：

動能公式：

T或、的兩個特點：

T、和的大小與軌道半徑（R）和運行速率（）無關，只與磁場的磁感應強度（B）和粒子的荷質比（）有關。

荷質比（）相同的帶電粒子，在同樣的勻強磁場中，、和相同。

④與B成（角，，則粒子做等距螺旋運動

2、解題思路及方法

圓運動的圓心的確定：

①利用洛侖茲力的方向永遠指向圓心的特點，只要找到圓運動兩個點上的洛侖茲力的方向，其延長線的交點必為圓心．

②利用圓上弦的中垂線必過圓心的特點找圓心

六、加速器問題

1、直線加速器

    ①單級加速器：是利用電場加速，如圖2所示。

    粒子獲得的能量：

        圖2

    缺點是：粒子獲得的能量與電壓有關，而電壓又不能太高，所以粒子的能量受到限制。

    ②多級加速器：是利用兩個金屬筒縫間的電場加速。

    粒子獲得的能量：

    缺點是：金屬筒的長度一個比一個長，占用空間太大。

2、回旋加速器

    采用了多次小電壓加速的優點，巧妙地利用電場對粒子加速、利用磁場對粒子偏轉，實驗對粒子加速。

①回旋加速器使粒子獲得的最大能量：

    在粒子的質量、電量，磁感應強度B、D型盒的半徑R一定的條件下，由軌道半徑可知，，即有，，所以粒子的最大能量為

    由動能定理可知，，加速電壓的高低只會影響帶電粒子加速的總次數，并不影響引出時的最大速度和相應的最大能量。

②回旋加速器能否無限制地給帶電粒子加速？

回旋加速器不能無限制地給帶電粒子加速，在粒子的能量很高時，它的速度越接近光速，根據愛因斯坦的狹義相對論，這里粒子的質量將隨著速率的增加而顯著增大，從而使粒子的回旋周期變大（頻率變�。┻@樣交變電場的周期難以與回旋周期一致，這樣就破壞了加速器的工作條件，也就無法提高速率了。

七、粒子在交變電場中的往復運動

    當電場強度發生變化時，由于帶電粒子在電場中的受力將發生變化，從而使粒子的運動狀態發生相應的變化，粒子表現出來的運動形式可能是單向變速直線運動，也可能是變速往復運動。

帶電粒子是做單向變速直線運動，還是做變速往復運動主要由粒子的初始狀態與電場的變化規律（受力特點）的形式有關。

                         圖3                    圖4

1、若粒子（不計重力）的初速度為零，靜止在兩極板間，再在兩極板間加上圖3的電壓，粒子做單向變速直線運動；若加上圖4的電壓，粒子則做往復變速運動。

    2、若粒子以初速度為從B板射入兩極板之間，并且電場力能在半個周期內使之速度減小到零，則圖1的電壓能使粒子做單向變速直線運動；則圖2的電壓也不能粒子做往復運動。

   所以這類問題要結合粒子的初始狀態、電壓變化的特點及規律、再運用牛頓第二定律和運動學知識綜合分析。

八、粒子在復合場中運動

1、在運動的各種方式中，最為熟悉的是以垂直電磁場的方向射入的帶電粒子，它將在電磁場中做勻速直線運動，那么，初速v₀的大小必為E/B，這就是速度選擇器模型，關于這一模型，我們必須清楚，它只能選取擇速度，而不能選取擇帶電的多少和帶電的正負，這在歷年高考中都是一個重要方面。

2、帶電物體在復合場中的受力分析：帶電物體在重力場、電場、磁場中運動時，其運動狀態的改變由其受到的合力決定，因此，對運動物體進行受力分析時必須注意以下幾點：

①受力分析的順序：先場力（包括重力、電場力、磁場力）、后彈力、再摩擦力等。

②重力、電場力與物體運動速度無關，由物體的質量決定重力大小，由電場強決定電場力大�。坏�洛侖茲力的大小與粒子速度有關，方向還與電荷的性質有關。所以必須充分注意到這一點才能正確分析其受力情況，從而正確確定物體運動情況。

3、帶電物體在復合場的運動類型：

①勻速運動或靜止狀態：當帶電物體所受的合外力為零時

②勻速圓周運動：當帶電物體所受的合外力充當向心力時

③非勻變速曲線運動；當帶電物體所受的合力變化且和速度不在一條直線上時

4、綜合問題的處理方法

(1)處理力電綜合題的的方法

處理力電綜合題與解答力學綜合題的思維方法基本相同，先確定研究對象，然后進行受力分析（包括重力）、狀態分析和過程分析，能量的轉化分析，從兩條主要途徑解決問題。

①用力的觀點進解答，常用到正交分解的方法將力分解到兩個垂直的方向上，分別應用牛頓第三定律列出運動方程，然后對研究對象的運動進分解。可將曲線運動轉化為直線運動來處理，再運用運動學的特點與方法，然后根據相關條件找到聯系方程進行求解。

②用能量的觀點處理問題

對于受變力作用的帶電體的運動，必須借助于能量觀點來處理。即使都是恒力作用的問題，用能量觀點處理也常常顯得簡潔，具體方法有兩種：

?用動能定理處理，思維順序一般為：

a.弄清研究對象，明確所研究的物理過程

b.分析物體在所研究過程中的受力情況，弄清哪些力做功，做正功還是負功

c.弄清所研究過程的始、末狀態（主要指動能）

?用包括靜電勢能和內能在內的能量守恒定律處理，列式的方法常有兩種：

a從初、末狀態的能量相等（即）列方程

b從某些能量的減少等于另一些能量的增加（即）列方程

c若受重力、電場力和磁場力作用，由于洛侖茲力不做功，而重力與電場力做功都與路徑無關，只取決于始末位置。因此它們的機械能與電勢能的總和保持不變。

(2)處理復合場用等效方法：

各種性質的場與實物（由分子和原子構成的物質）的根本區別之一是場具有疊加性。即幾個場可以同時占據同一空間，從而形成疊加場，對于疊加場中的力學問題，可以根據力的獨立作用原理分別研究每一種場力對物體的作用效果；也可以同時研究幾種場力共同作用的效果，將疊加緊場等效為一個簡單場，然后與重力場中的力學問題進行類比，利用力學的規律和方法進行分析與解答。

【典例分析】

圖5

【例1】如圖5所示，AB是一個接地的很大的薄金屬板，其右側P點有帶量為Q的正電荷，N為金屬板外表面上的一點，P到金屬板的垂直距離，M為PN連線的中點，關于M、N兩點的場強和電勢，有如下說法：

①M點的電勢比N點電勢高，M點的場強比N點的場強大

②M點的場強大小為

③N點的電勢為零，場強不為零

④N點的電勢和場強都為零

上述說法中正確的是（      ）

 A.①③           B.②④          C.①④          D.②③

【例2】如圖6所示，兩根長為的絕緣細線上端固定在O點，下端各懸掛質量為的帶電小球A、B，A、B帶電分別為、，今在水平向左的方向上加勻強電場，場強E，使連接AB長為的絕緣細線拉直，并使兩球處于靜止狀態，問，要使兩小球處于這種狀態，外加電場E的大小為多少？

                圖6

【例3】如圖7所示，是示波管工作原理示意圖，電子經加速電壓U₁加速后垂直進入偏轉電場，離開偏轉電場時的偏轉量為，兩平行板間的距離為，電勢差為U₂，板長為，為了提高示波管的靈敏度（單位偏轉電壓引起的偏轉量）可采取哪些措施？

             圖7

【例4】（2001年，安徽高考題）一平行板電容器，兩板間的距離和兩板面積都可調節，電容器兩極板與電池相連接，以表示電容器的電量，表示兩極間的電場強度，則下列說法中正確的是（       ）

A.當增大，S不變時，減小E減小

B.當S增大，不變時，增大E增大

C.當減小，S增大時，增大E增大

D.當S減小，減小時，不變E不變

【例5】如圖8所示，在S點的電量為q，質量為m的靜止帶電粒子，被加速電壓為U，極板間距離為d的勻強電場加速后，從正中央垂直射入電壓為U的勻強偏轉電場，偏轉極板長度和極板距離均為L，帶電粒子離開偏轉電場后即進入一個垂直紙面方向的勻強磁場，其磁感應強度為B。若不計重力影響，欲使帶電粒子通過某路徑返回S點，求：

（1）勻強磁場的寬度D至少為多少？

（2）該帶電粒子周期性運動的周期T是多少？偏轉電壓正負極多長時間變換一次方向？

          圖8

 v₁

           圖 9

【例7】一水平放置的平行板電容器置于真空中，開始時兩極板的勻電場的場強大小為E₁，這時一帶電粒子在電場的正中處于平衡狀態�，F將兩極板間的場強大小由E₁突然增大到E₂，但保持原來的方向不變，持續一段時間后，突然將電場反向，而保持場強的大小E₂不變，再持續一段同樣時間后，帶電粒子恰好回到最初的位置，已知在整個過程中，粒子并不與極板相碰，求場強E₁的值。

【例8】如圖10所示，在xOy平面內，有場強E=12N/C，方向沿x軸正方向的勻強電場和磁感應強度大小為B=2T、方向垂直xOy平面指向紙里的勻強磁場．一個質量m=4×10-5kg，電量q=2.5×10-5C帶正電的微粒，在xOy平面內做勻速直線運動，運動到原點O時，撤去磁場，經一段時間后，帶電微粒運動到了x軸上的P點．求：（1）P點到原點O的距離；（2）帶電微粒由原點O運動到P點的時間．

【跟蹤練習】

1．如圖11所示，P、Q是兩個電量相等正的電荷，它們連線的中點是O，a、b是中垂線上的兩點，，用、、、分別表示a、b兩點的場強和電勢，則（      ）

            圖11

A.一定大于，一定大于   

B.不一定大于，一定大于

C.一定大于，不一定大于

D.不一定大于，不一定大于

2．一個電量為的正電荷從電場外移到電場里的A點,電場做功,則A點的電勢U_A等于多少?如果此電荷移到電場里的另一點B,電場力做功2×10^－3，則A、B兩點間的電勢差U_AB等于多少？如果有另一電量是的負電荷從A移到B，則電場力做功為多少？

         圖12

3．如圖12所示，質量為的小球B，帶電量為，用絕緣細線懸掛在O點，球心到O點的距離為，在O點的正下方有一個帶同種電荷的小球A固定不動，A的球心到O點的距離也為，改變A球的帶電量，B球將在不同的位置處于平衡狀態。當A球帶電量為，B球平衡時，細線受到的拉力為；若A球帶的電量為，B球平衡時，細線受到的拉力為，則與的關系為（       ）

A. >             B. <

C.  =            D. = =

4．有三根長度皆為的不可伸長的絕緣輕線，其中兩根的一端固定在天花板上的O點，另一端分別拴有質量皆為的帶電小球A和B，它們的電量分別為和，。A、B之間用第三根線連接起來�？臻g中存在大小為的勻強電場，場強方向沿水平向右，平衡時A、B球的位置如圖13所示�，F將O、B之間的線燒斷，由于有空氣阻力，A、B球最后會達到新的平衡位置。求最后兩球的機械能與電勢能的總和與燒斷前相比改變了多少。（不計兩帶電小球間相互作用的靜電力）

         圖13

              圖14

5．如圖14所示，電子在電勢差為U₁的加速電場中由靜止開始運動，然后射入電勢差為U₂的兩平行極板間的電場中，射入方向與極板平行，整個裝置處在真空中，重力可忽略，在滿足電子能射出平行板區的條件下，下述四種情況中，一定能使電子的偏轉角變大的是（        ）

      A.U₁變大，U₂變大

      B.U₁變小，U₂變大

      C.U₁變大，U₂變小

      D.U₁變小，U₂變小

6．（1997年，全國題）如圖15（1）所示，真空室中電極K發出的電子（初速不計）經過伏的加速電場后，由小孔S沿兩水平金屬板A、B間的中防線射入，A、B板長米，相距米，加在A、B兩板間的電壓u隨時間t變化u―t圖線如圖15(2)所示，設A、B間的電場可看作是均勻的，且兩板外無電場，在每個電子通過電場區域的極短時間。內，電場可視作恒定的。兩板右側放一記錄圓筒，筒的左側邊緣與極右端距離米，筒繞其豎直軸勻速轉動，周期T秒，筒的周長米，筒能接收到通過A、B板的全部電子。

      （1）以t=0時[見圖15（2）]，此時u=0，電子打到圓筒記錄紙上的點作為xy坐標系的原點，并取y軸豎直向上，試計算電子打到記錄紙上的最高點的y坐標和x坐標。（不計重力作用）

（2）在給出的坐標紙圖15（3）上定量地畫出電子打到記錄紙上的點形成的圖線。

           圖16

7．(1997年，全國題)在圖16中所示的實驗裝置中，平行板電容器的極板A與靈敏的靜電計相接，極板B接地，若極板B稍向上移動一點，由觀察到的靜電計指針變化作出平行板電容器電容變小的結論，其依據是（    ）

  A.兩極板間的電壓不變，極板上的電量變小

  B.兩極板間的電壓不變，極板上的電量變大

  C.極板上的電量幾乎不變，兩極板間的電壓變小

  D.極板上的電量幾乎不變，兩極板間的電壓變大

            圖17

8．如圖17所示，已充電的平行板電容器，帶正電的極板接地，兩極板間于P點處固定一負的點電荷，若將上極板下移至虛線位置，則下列說法中正確的是（     ）

A.兩極間的電壓和板間場強都變小

B.兩極間的電壓變小，但場強不變

C.P點的電勢升高，點電荷的電勢能增大

D.P點的電勢不變，點電荷的電勢能也不變

9．如圖18所示，在x軸上方有勻強磁場（磁感強度為B），一個質量為m，帶電量為q的粒子以速度v₀從坐標原點O射入磁場，v₀ 與x軸的負方向夾角為，不計重力，求粒子在磁場中飛行的時間和飛出磁場的坐標（磁場垂直紙面，不考慮粒子的重力）

圖18

10．如圖19所示，x軸上方有勻強磁場， 磁感應強度為B，方向如圖所示，下方有勻強電場，場強為E。今有電量為q，質量為m的粒子位于y軸N點坐標（0，－b）。不計粒子所受重力。在x軸上有一點M（L，0）。若使上述粒子在y軸上的N點由靜止開始釋放在電磁場中往返運動，剛好能通過M點。已知OM＝L。求：

(1)     粒子帶什么電?

(2)     釋放點N離O點的距離須滿足什么條件?

圖 19

(3)     從N到M點粒子所用最短時間為多少?

         圖20

11．圖20中，A、B是一對平行的金屬板。在兩板間加上一周期為T的交變電壓。A板的電勢U_A=0，B板的電勢U_B隨時間的變化規律為，在0到T/2的時間內，U_B= U₀(正常數)；在T/2到達T的時間內，U_B＝－U₀；在T到3T/2的時間內，U_B=U₀；在3T/2到2T的時間，U_B= ―U₀…現有一電子從A板上的小孔進入兩板間的電場區內，設電子的初速度和重力影響均可忽略，則（    ）

A.若電子在t＝0時刻進入，它將一直向B板運動

B.若電子是在t＝T/8時刻進入的，它可能時而向B板運動，時而向A板運動，最后打在B板上

C.若電子是在t＝3T/8時刻進入的，它可能時而向B板運動，時而向A板運動，最后打在B板上

D.若電子是在t＝T/2時刻進入的，它可能時而向B板，時而向A板運動

12. (2003.江蘇)串列加速器是用來產生高能離子的裝置。圖21中虛線框內為其主體的原理示意圖，其中加速管的中部b處有很高的正電勢U，a、c兩端均有電極接地（電勢為零），現將速度很低的負一價碳離子從a端輸入，當離子到達b處時，可被設在b處的特殊裝置將其電子剝離，成為n價正離子，而不改變其速度大小。這些正n價碳離子從c端飛出后進入一與其速度方向垂直的、磁感應強度為B的勻強磁場中，在磁場中做半徑為R的圓周運動。已知碳離子的質量，，，，元電荷，求半徑R。

圖21

13．如圖22所示為一種獲得高能粒子的裝置。環形區域內存在垂直紙面向外、大小可調的勻強磁場。質量為m，電量為＋q的粒子在環中作半徑為R的圓周運動。A、B為兩塊中心開有小孔的極板。原來電勢都是零，每當粒子飛經A板時，A板電勢升高為＋U，B板電勢仍保持為零，粒子在兩板間電場中得到加速。每當粒子離開B板時，A板電勢又降為零。粒子在電場一次次加速下動能不斷增大，而繞行半徑不變。

(1)設t＝0時粒子靜止在A板小孔處，在電場作用下加速，并繞行第一圈。求粒子繞行n圈回到A板時獲得的總動能E_n。

(2)為使粒子始終保持在半徑為R的圓軌道上運動，磁場必須周期性遞增。求粒子繞行第n圈時的磁感應強度B_n。

(3)求粒子繞行n圈所需要的總時間t_n（設極板間距離遠小于R）。

(4)在圖22(2)中畫出A板電勢u與時間t的關系（從t＝0起畫到粒子第四次離開B板時即可）

          R

O      A     +U

0  

       圖22(1)

(5)在粒子繞行的整個過程中，A板電勢是否可始終保持為＋U？為什么？

u                    

 U                        

0                                                                                            t

           圖22(2)

14．（2002年，廣東題）如圖23（a）所示，A、B為水平放置的平行金屬板，板間距離為（遠小于板的長度和寬），在兩板之間有一帶負電的質點P，已知若在A、B間加電壓U₀，則P點可以靜止平衡，現在A、B間加上圖（b）所示的隨時間變化的電壓U，在時，質點P位于A、B的中點處且初速度為零，已知質點P能在A、B間以最大的幅度上下運動，而又不與兩極板相碰，求圖（b）中U改變的各時刻及的表達式（質點開始從中點上升到最高點，及以后每次從最高點到最低點或從最低點到最高點的過程，電壓只改變一次）。

    （a）           （b）

              圖23

15．如圖24所示，傾角為30⁰的直角三角形底邊長為2l，底邊外在水平位置，斜邊為光滑絕緣導軌，現在底邊中點O處固定一正電荷Q，讓一個質量為m的帶正電荷q從斜面頂端A沿斜面滑下（始終不脫離斜面），已測得它滑到仍在斜邊上的垂足D處的速度為v，加速度為a，方向沿斜面向下，問該質點滑到斜邊底端C點時的速度和加速度各為多少？  

 圖24

專題四  電磁感應與電路

黃岡中學  王小蘭

[方法歸納]

電磁感應是電磁學中最為重要的內容，也是高考的熱點之一。電磁感應是討論其他形式能轉化為電能的特點和規律；電路問題主要是討論電能在電路中傳輸、分配并通過用電器轉化成其他形式能的特點和規律，本專題的思想是能量轉化與守恒思想。

在復習電磁感應部分時，其核心是法拉第電磁感應定律和楞次定律；這兩個定律一是揭示感應電動勢的大小所遵循的規律；一個是揭示感的電動勢方向所遵循的規律，法拉第電磁感定律的數學表達式為：，磁通量的變化率越大，感應電動勢越大．磁通量的變化率越大，外界所做的功也越大．楞次定律的表述為：感應電流的磁場總要阻礙引起感應電流的磁通量的變化，從楞次定律的內容可以判斷出：要想獲得感應電流就必須克服感應電流的阻礙，需要外界做功，需要消耗其他形式的能量．在第二輪復習時如果能站在能量的角度對這兩個定律進行再認識，就能夠對這兩個定律從更加整體、更加深刻的角度把握．

電路部分的復習，其一是以部分電路歐姆定律為中心，包括六個基本物理量（電壓、電流、電阻、電功、電功率、電熱），三條定律（部分電路歐姆定律、電阻定律和焦耳定律），以及串、并聯電路的特點等概念、定律的理解掌握和計算；其二是以閉合電路歐姆定律為中心討論電動勢概念、閉合電路中的電流、路端電壓以及閉合電路中能量的轉化；其三，對高中物理所涉及的三種不同類別的電路進行比較，即恒定電流電路、變壓器電路、遠距離輸電電路，比較這些電路哪些是基本不變量，哪些是變化量，變化的量是如何受到不變量的制約的．其能量是如何變化的．

在恒定電流電路中，如果題目不加特殊強調，電源的電動勢和內電阻是基本不變量，在外電阻改變時其他量的變化受到基本不變量的制約．

在變壓器電路中，如果題目不加特殊強調，變壓器的輸入電壓不變，其他量改變時受到這個基本不變量的制約．

在遠距離輸電電路中，如果題目不加特殊強調，發電廠輸出的電功率不變，其他量改變時受到這個基本不變量的制約．

[典例分析]

1．電磁感應的圖象問題

方法：圖象問題有兩種：一是給出電磁感應過程選出或畫出正確圖象；二是由給定的有關圖象分析電磁感應過程，求解相應的物理量．其思路是：利用法拉第電磁感應定律計算感應電動勢．感應電流的大小，利用楞次定律或右手定則判定感應電流的方向，利用圖象法直觀，明確地表示出感應電流的大小和方向．掌握這種重要的物理方法．

例1、如圖4―1（a）所示區域（圖中直角坐標系xOy的1、3象限）內有勻強磁場，磁感應強度方向垂直于圖面向里，大小為B，半徑為l，圓心角為60°的扇形導線框OPQ以角速度繞O點在圖面內沿逆時針方向勻速轉動，導線框回路電阻為R．

（1）求線框中感應電流的最大值I₀和交變感應電流的頻率f．

（2）在圖（b）中畫出線框轉一周的時間內感應電流I隨時間t變化的圖象．（規定在圖（a）中線框的位置相應的時刻為t =0）

2、電路的動態分析

方法：利用歐姆定律，串、并聯電路的性質，閉合電路的歐姆定律；明確不變量，以“從局部到整體再到局部”，“從外電路到內電路再到外電路”的順序討論各物理量的變化情況．

例2、如圖4―3所示的電路中，電源的電動勢為E，內阻為r．當可變電阻的滑片P向b移動時，電壓表的讀數U₁與電壓表的讀數U₂的變化情況是（   ）

A．U₁變大，U₂變小             

B．U₁變大，U₂變大

C．U₁變小，U₂變小             

B．U₁變小，U₂變大

3、電磁感應與力學綜合

方法：從運動和力的關系著手，運用牛頓第二定律

（1）基本思路：受力分析→運動分析→變化趨向→確定運動過程和最終的穩定狀態→由牛頓第二定律列方程求解．

（2）注意安培力的特點：

（3）純力學問題中只有重力、彈力、摩擦力，電磁感應中多一個安培力，安培力隨速度變化，部分彈力及相應的摩擦力也隨之而變，導致物體的運動狀態發生變化，在分析問題時要注意上述聯系．

例3、如圖4―4所示，兩根相距為d的足夠長的平行金屬導軌位于水平xOy平面內，左端接有阻值為R的電阻，其他部分的電阻均不計．在x>0的一側存在垂直xOy平面且方向豎直向下的穩定磁場，磁感強度大小按B=kx規律變化（其中k是一大于零的常數）．一根質量為m的金屬桿垂直跨擱在光滑的金屬導軌上，兩者接觸良好．

當t =0時直桿位于x=0處，其速度大小為v₀，方向沿x軸正方向，在此后的過程中，始終有一個方向向左的變力F作用于金屬桿，使金屬桿的加速度大小恒為a，加速度方向一直沿x軸的負方向．求：

（1）閉合回路中感應電流持續的時間有多長？

（2）當金屬桿沿x軸正方向運動的速度為時，閉合回路的感應電動勢多大？此時作用于金屬桿的外力F多大？

4、電磁感應與動量、能量的綜合

方法：

（1）從動量角度著手，運用動量定理或動量守恒定律

①應用動量定理可以由動量變化來求解變力的沖量，如在導體棒做非勻變速運動的問題中，應用動量定理可以解決牛頓運動定律不易解答的問題．

②在相互平行的水平軌道間的雙棒做切割磁感線運動時，由于這兩根導體棒所受的安培力等大反向，合外力為零，若不受其他外力，兩導體棒的總動量守恒．解決此類問題往往要應用動量守恒定律．

（2）從能量轉化和守恒著手，運用動能定律或能量守恒定律

①基本思路：受力分析→弄清哪些力做功，正功還是負功→明確有哪些形式的能量參與轉化，哪增哪減→由動能定理或能量守恒定律列方程求解．

②能量轉化特點：其它能（如：機械能）電能內能（焦耳熱）

例4、如圖4―6所示，在空間中有一水平方向的勻強磁場區域，區域的上下邊緣間距為h，磁感應強度為B．有一寬度為b（b<h）、長度為L、電阻為R、質量為m的矩形導體線圈緊貼磁場區域的上邊緣從靜止起豎直下落，當線圈的PQ邊到達磁場下邊緣時，恰好開始做勻速運動．求：

（1）線圈的MN邊剛好進入磁場時，線圈的速度大小．

（2）線圈從開始下落到剛好完全進入磁場所經歷的時間．

例5、兩根足夠長的固定的平行金屬導軌位于同一水平內，兩導軌間的距離為l，導軌上面橫放著兩根導體棒ab和cd構成矩形回路，如圖4―7所示．兩根導體棒的質量皆為m，電阻皆為R，磁感應強度為B，設兩導體棒均為沿導軌無摩擦地滑行，開始時，棒cd靜止，棒ab有指向棒cd的初速度（如圖所示），若兩導體棒在運動中始終不接觸，求：

（1）在運動中產生的焦耳熱最多是多少？

（2）當ab棒的速度變為初速度的時，cd棒的加速度是多少？

5、電磁感應與電路綜合

方法：在電磁感應現象中，切割磁感線的導體或磁通量發生變化的回路相當于電源．解決電磁感應與電路綜合問題的基本思路是：

（1）明確哪部分相當于電源，由法拉第電磁感應定律和楞次定律確定感應電動勢的大小和方向．

（2）畫出等效電路圖．

（3）運用閉合電路歐姆定律．串并聯電路的性質求解未知物理量．

例6、如圖4―8所示，直角三角形導線框abc固定在勻強磁場中，ab是一段長為L、電阻為R的均勻導線，ac和bc的電阻可不計，ac長度為．磁場的磁感強度為B，方向垂直紙面向里．現有一段長度為，電阻為的均勻導體棒MN架在導線框上，開始時緊靠ac，然后沿bc方向以恒定速度v向b端滑動，滑動中始終與ac平行并與導線框保持良好接觸，當MN滑過的距離為時，導線ac中的電流為多大？方向如何？

6、交變電流的三值

（1）最大值：，最大值與線圈的形狀，以及轉軸的位置無關，但轉軸應與磁感線垂直．

（2）有效值：交流電的有效值是根據電流的熱效應來定義的．即在同一時間內，跟某一交流電一樣能使同一電阻產生相等熱量的直流的數值，叫做該交流電的有效值．

正弦交流電的有效值與最大值之間的關系為：．各種交流電器設備上標準值及交流電表上的測量值都是指有效值．

（3）平均值 

（4）最大值、有效值和平均值的應用

①求電功、電功率以及確定保險絲的熔斷電流等物理量時，要用有效值計算．正弦交變電流的有效值為，其他交流電流的有效值只能根據有效值的定義來計算．

②求一段時間內通過導體橫截面的電量時要用平均值來計算．

而．

注意，平均值不等于有效值．

③在考慮電容器的耐壓值時，則應根據交流電的最大值．

例7、邊長為a的N匝正方形線圈在磁感應強度為B的勻強磁場中，以角速度繞垂直于磁感線的轉軸勻速轉動，線圈的電阻為R．求：

（1）線圈從中性面開始轉過90°角的過程中產生的熱量．

（2）線圈從中性面開始轉過90°角的過程中，通過導線截面的電量．

7、電容、電路、電場、磁場綜合

方法：從電場中的帶電粒子受力分析入手，綜合運用牛頓第二定律；串、并聯電路的性質、閉合電路歐姆定律和法拉第電磁感應定律進行分析、計算，注意電容器兩端的電壓和等效電路．

例8、如圖4―11所示，光滑的平行導軌P、Q相距l=1m，處在同一水平面中，導軌左端接有如圖所示的電路，其中水平放置的平行板電容器C兩極板間距離d=10mm，定值電阻R₁=R₃=8Ω，R₂=2Ω，導軌電阻不計，磁感應強度B=0.4T的勻強磁場豎直向下穿過導軌平面，當金屬棒ab沿導軌向右勻速運動（開關S斷開）時，電容器兩極板之間質量m=1×10^－14kg，帶電荷量q=－1×10^－25C的粒子恰好靜止不動；當S閉合時，粒子以加速度a=7m/s²向下做勻加速運動，取g=10m/s²，求：

（1）金屬棒ab運動的速度多大？電阻多大？

（2）S閉合后，使金屬棒ab做勻速運動的外力的功率多大？

8、電磁感應與交流電路、變壓器綜合

方法：①變壓器遵循的是法拉第電磁感應定律，理想變壓器不考慮能量損失，即輸入功率等于輸出功率．②理想變壓器原線圈的電壓決定著負線圈的電壓，而副線圈上的負載反過來影響著原線圈的電流，輸入功率．③遠距離輸電是以電功率展開分析的，其中損失功率是最為關鍵的因素．④在供電電路、輸電電路、用電回路所構成的輸電電路中， 輸出電路中的電流和輸電回路中的損失電壓是聯系其余兩回路的主要物理量．

                          n₁┱n₂                  ┱

圖4―12

例9、有條河流，流量Q=2m³/s，落差h=5m，現利用其發電，若發電機總效率為50%，輸出電壓為240V，輸電線總電阻R=30Ω，允許損失功率為輸出功率的6%，為滿足用電的需求，則該輸電線路所使用的理想電壓、降壓變壓器的匝數比各是多少？能使多少盞“220V、100W”的電燈正常發光．

[跟蹤練習]

1．矩形導線框abcd放在勻強磁場中，磁感線方向與線圈平面垂直，磁感強度B隨時間變化的圖象如圖4―13所示．t=0時刻，磁感強度的方向垂直于紙面向里．在0～4s時間內，線框的ab邊受力隨時間變化的圖象（力的方向規定以向左為正方向），可能如圖4―14中的（   ）

A．               B．              C．              D．

2．如圖4―14甲所示，由均勻電阻絲做成的正方形線框abcd的電阻為R，ab=bc=cd=da=l．現將線框以與ab垂直的速度v勻速穿過一寬為2l、磁感應強度為B的勻強磁場區域，整個過程中ab、cd兩邊始終保持與邊界平行．令線框的cd邊剛與磁場左邊界重合時t=0，電流沿abcda流動的方向為正．

（1）求此過程中線框產生的焦耳熱；

（2）在圖乙中畫出線框中感應電流隨時間變化的圖象；

（3）在圖丙中畫出線框中a、b兩點間電勢差U_ab隨時間t變化的圖象．

圖4―14

3．如圖4―15所示，T為理想變壓器，A₁、A₂為交流電流表，R₁、R₂為定值電阻，R₃為滑動變阻器，原線圈兩端接恒壓交流電源，當滑變阻器的滑動觸頭向下滑動時（   ）

A．A₁的讀數變大，A₂讀數變大

B．A₁的讀數變大，A₂讀數變小

C．A₁的讀數變小，A₂­讀數變大

D．A₁的讀數變小，A₂的讀數變小

4．如圖4―16所示：半徑為r、電阻不計的兩個半圓形光滑導軌并列豎直放置，在軌道左上方端點M、N間接有阻值為R的小電珠，整個軌道處在磁感強度為B的勻強磁場中，兩導軌間距為L，現有一質量為m，電阻為R的金屬棒ab從M、N處自由靜止釋放，經一定時間到達導軌最低點O、O′，此時速度為v．

（1）指出金屬棒ab從M、N到O、O′的過程中，通過小電珠的電流方向和金屬棒ab的速度大小變化情況．

（2）求金屬棒ab到達O、O′時，整個電路的瞬時電功率．

（3）求金屬棒ab從M、N到O、O′的過程中，小電珠上產生的熱量．

5．（2002?上海）如圖4―17所示，有兩根和水平方向成角的光滑平行的金屬軌道，上端接有可變電阻R，下端足夠長，空間有垂直于軌道平面的勻強磁場，磁感應強度為B．一根質量為m的金屬桿從軌道上靜止自由滑下，經過足夠長的時間后，金屬桿的速度會趨近于一個最大速度v_m，則（   ）

A．如果B增大，v_m將變大              B．如果變大，v_m將變大

C．如果R變小，v_m將變大              D．如果m變小，v_m將變大

6．（2004年全國）如圖4―18所示a₁b₁c₁d₁和a₂b₂c₂d₂為在同一豎直平面內的金屬導軌，處在磁感應強度為B的勻強磁場中，磁場方向垂直導軌所在的平面（紙面）向里．導軌的a₁b₁段與a₂b₂段是豎直的，距離l₁；c₁d₁段與c₂d₂段也是豎直的，距離為l₂．x₁y₁與x₂y₂為兩根用不可伸長的絕緣輕線相連的金屬細桿，質量分別為m₁和m₂，它們都垂直于導軌并與導軌保持光滑接觸．兩桿與導軌構成的回路的總電阻為R．F為作用于金屬桿x₁y₁上的豎直向上的恒力．已知兩桿運動到圖示位置時，已勻速向上運動，求此時作用兩桿的重力的功率的大小和回路電阻上的熱功率．

7．光滑曲面與豎直平面的交線是拋物線，如圖4―19所示，拋物線的方程是y=x²，下半部處在一個水平方向的勻強磁場中，磁場的上邊界是y=a的直線（圖中虛線所示），一個小金屬環從拋物線上y=b（y>a）處以速度v沿拋物線下滑，假設拋物線足夠長，金屬環沿拋物線下滑后產生的焦耳熱總量是（   ）

A．mgb           B．         

C．mg(b－a)      D．

8．如圖4―20所示，長為L、電阻r=0.3Ω、質量m=0.1kg的金屬棒CD垂直跨擱在位于水平面上的兩條平行光滑金屬導軌上，兩導軌間距也是L，棒與導軌間接觸良好，導軌電阻不計，導軌左端接有R=0.5Ω的電阻，量程為0～3.0A的電流表串接在一條導軌上，量程為0～1.0V的電壓表接在電阻R的兩端，垂直導軌平面的勻強磁場向下穿過平面．現以向右恒定外力F使金屬棒右移，當金屬棒以v=2m/s的速度在導軌平面上勻速滑動時，觀察到電路中的一個電表正好滿偏，而另一個電表未滿偏，問：

（1）此滿偏的電表是什么表？說明理由．

（2）拉動金屬棒的外力F多大？

（3）此時撤去外力F，金屬棒將逐漸慢下來，最終停止在導軌上．求從撤去外力到金屬棒停止運動的過程中通過電阻R的電量．

9．高頻焊接是一種常用的焊接方法，其焊接的原理如圖所示．將半徑為10cm的待焊接的圓形金屬工件放在導線做成的1000匝線圈中，然后在線圈中通以高頻的交變電流，線圈產生垂直于金屬工件所在平面的變化磁場，磁場的磁感應強度B的變化率為1000T/s．焊接處的接觸電阻為工件非焊接部分電阻的 99倍．工作非焊接部分每單位長度上的電阻為，焊接的縫寬非常小，求焊接過程中焊接處產生的熱功率．（取=10，不計溫度變化對電阻的影響）

圖4―21

10．如圖所示，與光滑的水平平行導軌P、Q相連的電路中，定值電阻R₁=5Ω，R₂=6Ω；電壓表的量程為0～10V，電流表的量程為0～3A，它們都是理想電表；豎直向下的勻強磁場穿過水平導軌面，金屬桿ab橫跨在導軌上，它們的電阻均可不計，求解下列問題：

（1）當滑動變阻器的阻值R₀=30Ω時，用水平恒力F₁=40N向右作用于ab，在ab運動達到穩定狀態時，兩個電表中有一個電表的指針恰好滿偏，另一個電表能安全使用．試問：這時水平恒力F₁的功率多大？ab的速度v₁多大？

（2）將滑動變阻器的電阻調到R₀=3Ω，要使ab達到穩定運動狀態時，兩個電表中的一個電表的指針恰好滿偏，另一個電表能安全使用，作用于ab的水平恒力F₂多大？這時ab的運動速度v₂多大？

11．兩只相同的電阻，分別通過簡諧波形的交流電和方形波的交流電．兩種交變電流的最大值相等，波形如圖4―23所示．在簡諧波形交流電的一個周期內，簡諧波形交流電在電阻上產生的焦耳熱Q₁與方波形交流電在電阻上產生的焦耳熱Q₂之比為等于（   ）

A．3┱1          B．1┱2

C．2┱1          D．4┱3

12．曾經流行過一種向自行車車頭燈供電的小型交流發電機，圖4―24甲為其結構示意圖．圖中N、S是一對固定的磁極，abcd為固定在轉軸上的矩形線框，轉軸過bc邊中點、與ab邊平行，它的一端有一半徑r₀=1.0cm的摩擦小輪，小輪與自行車車輪的邊緣相接觸，如圖4―24乙所示．當車輪轉動時，因摩擦而帶動小輪轉動，從而使線框在磁極間轉動．設線框由N=800匝導線圈組成，每匝線圈的面積S=20cm²，磁極間的磁場可視為勻強磁場，磁感強度B=0.010T，自行車車輪的半徑R₁=35cm，小齒輪的半徑R₂=4.0cm，大齒輪的半徑R₃=10.0cm（見圖乙）．現從靜止開始使大齒輪加速運動，問大齒輪的角速度為多大時才能使發電機輸出電壓的有效值U=3.2V？（假定摩擦小輪與自行車輪之間無相對滑動）

圖4―24

13．如圖4―25所示，兩塊水平放置的平行金屬板間距為d，定值電阻的阻值為R，豎直放置線圈的匝數為n，繞制線圈導線的電阻為R，其他導線的電阻忽略不計．現在豎直向上的磁場B穿過線圈，在兩極板中一個質量為m，電量為q，帶正電的油滴恰好處于靜止狀態，則磁場B的變化情況是（   ）