例1  已知都是實數，求證

    思路分析  從題目的外表形式觀察到，要證的

結論的右端與平面上兩點間的距離公式很相似，而

左端可看作是點到原點的距離公式。根據其特點，

可采用下面巧妙而簡捷的證法，這正是思維變通的體現。

證明  不妨設如圖1－2－1所示，

則

     在中，由三角形三邊之間的關系知：

      當且僅當O在AB上時，等號成立。

     因此，

     思維障礙  很多學生看到這個不等式證明題，馬上想到采用分析法、綜合法等，而此題利用這些方法證明很繁。學生沒能從外表形式上觀察到它與平面上兩點間距離公式相似的原因，是對這個公式不熟，進一步講是對基礎知識的掌握不牢固。因此，平時應多注意數學公式、定理的運用練習。

例2        已知，試求的最大值。

解  由  得

又

當時，有最大值，最大值為

思路分析  要求的最大值，由已知條件很快將變為一元二次函數然后求極值點的值，聯系到，這一條件，既快又準地求出最大值。上述解法觀察到了隱蔽條件，體現了思維的變通性。

思維障礙    大部分學生的作法如下：

由 得

當時，取最大值，最大值為

這種解法由于忽略了這一條件，致使計算結果出現錯誤。因此，要注意審題，不僅能從表面形式上發現特點，而且還能從已知條件中發現其隱蔽條件，既要注意主要的已知條件，

又要注意次要條件，這樣，才能正確地解題，提高思維的變通性。

有些問題的觀察要從相應的圖像著手。

例3        已知二次函數滿足關系

，試比較與的大小。

思路分析  由已知條件可知，在與左右等距離的點的函數值相等，說明該函數的圖像關于直線對稱，又由

已知條件知它的開口向上，所以，可根據該函數的大致

圖像簡捷地解出此題。

解  （如圖1－2－2）由，

知是以直線為對稱軸，開口向上的拋物線

它與距離越近的點，函數值越小。

思維障礙  有些同學對比較與的大小，只想到求出它們的值。而此題函數的表達式不確定無法代值，所以無法比較。出現這種情況的原因，是沒有充分挖掘已知條件的含義，因而思維受到阻礙，做題時要全面看問題，對每一個已知條件都要仔細推敲，找出它的真正含義，這樣才能順利解題。提高思維的變通性。

（2）   聯想能力的訓練

例4        在中，若為鈍角，則的值

(A) 等于1        (B)小于1         (C) 大于1       (D) 不能確定

思路分析  此題是在中確定三角函數的值。因此，聯想到三角函數正切的兩角和公式可得下面解法。

解  為鈍角，.在中

且

故應選擇（B）

思維障礙  有的學生可能覺得此題條件太少，難以下手，原因是對三角函數的基本公式掌握得不牢固，不能準確把握公式的特征，因而不能很快聯想到運用基本公式。

例5        若

思路分析  此題一般是通過因式分解來證。但是，如果注意觀察已知條件的特點，不難發現它與一元二次方程的判別式相似。于是，我們聯想到借助一元二次方程的知識來證題。

證明  當時，等式  

可看作是關于的一元二次方程有等根的條件，在進一步觀察這個方程，它的兩個相等實根是1 ，根據韋達定理就有：

         即  

若，由已知條件易得  即,顯然也有.

例6        已知均為正實數,滿足關系式,又為不小于的自然數，求證:

思路分析  由條件聯想到勾股定理,可構成直角三角形的三邊，進一步聯想到三角函數的定義可得如下證法。

證明  設所對的角分別為、、則是直角，為銳角，于是

      且

當時，有

于是有

即     

從而就有   

思維阻礙  由于這是一個關于自然數的命題，一些學生都會想到用數學歸納法來證明，難以進行數與形的聯想，原因是平時不注意代數與幾何之間的聯系，單純學代數，學幾何，因而不能將題目條件的數字或式子特征與直觀圖形聯想起來。

（3）   問題轉化的訓練

我們所遇見的數學題大都是生疏的、復雜的。在解題時，不僅要先觀察具體特征，聯想有關知識，而且要將其轉化成我們比較熟悉的，簡單的問題來解。恰當的轉化，往往使問題很快得到解決，所以，進行問題轉化的訓練是很必要的。

1  轉化成容易解決的明顯題目

    例11  已知求證、、中至少有一個等于1。

思路分析  結論沒有用數學式子表示，很難直接證明。首先將結論用數學式子表示，轉化成我們熟悉的形式。、、中至少有一個為1，也就是說中至少有一個為零，這樣，問題就容易解決了。

證明  

于是 

  中至少有一個為零，即、、中至少有一個為1。

思維障礙  很多學生只在已知條件上下功夫，左變右變，還是不知如何證明三者中至少有一個為1，其原因是不能把要證的結論“翻譯”成數學式子，把陌生問題變為熟悉問題。因此，多練習這種“翻譯”，是提高轉化能力的一種有效手段。

例12        直線的方程為，其中；橢圓的中心為，焦點在軸上，長半軸為2，短半軸為1，它的一個頂點為，問在什么范圍內取值時，橢圓上有四個不同的點，它們中的每一點到點的距離等于該點到直線的距離。

思路分析  從題目的要求及解析幾何的知識可知，四個不同的點應在拋物線

                             （1）

是，又從已知條件可得橢圓的方程為

                     （2）

因此，問題轉化為當方程組（1）、（2）有四個不同的實數解時，求的取值范圍。將（2）代入（1）得：

                                         （3）

確定的范圍，實際上就是求（3）有兩個不等正根的充要條件，解不等式組：

在的條件下，得

    本題在解題過程中，不斷地把問題化歸為標準問題：解方程組和不等式組的問題。

2  逆向思維的訓練

逆向思維不是按習慣思維方向進行思考，而是從其反方向進行思考的一種思維方式。當問題的正面考慮有阻礙時，應考慮問題的反面，從反面入手，使問題得到解決。

例13  已知函數，求證、、中至少有一個不小于1.

思路分析  反證法被譽為“數學家最精良的武器之一”，它也是中學數學常用的解題方法。當要證結論中有“至少”等字樣，或以否定形式給出時，一般可考慮采用反證法。

證明  （反證法）假設原命題不成立，即、、都小于1。

則              

①＋③得         ，

與②矛盾，所以假設不成立，即、、中至少有一個不小于1。

    3  一題多解訓練

    由于每個學生在觀察時抓住問題的特點不同、運用的知識不同，因而，同一問題可能得到幾種不同的解法，這就是“一題多解”。通過一題多解訓練，可使學生認真觀察、多方聯想、恰當轉化，提高數學思維的變通性。

例14  已知復數的模為2，求的最大值。

解法一（代數法）設

解法二（三角法）設

則

解法三（幾何法）

如圖1－2－3 所示，可知當時，

解法四（運用模的性質）

而當時，

解法五（運用模的性質）

又