例1、(07海南) 曲線在點處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為（　�。�

Ａ、              Ｂ、          Ｃ、             Ｄ、

例2、(07全國Ⅰ20) 設函數。

（Ⅰ）證明：的導數；

（Ⅱ）若對所有都有，求的取值范圍。

例3、(05全國Ⅱ22) 已知，函數．

（Ⅰ）當為何值時，取得最小值？證明你的結論；

（Ⅱ）設在[,1]上是單調函數，求的取值范圍。

;（)

（一）選擇題：

1、（07浙江）設是函數的導函數，將和的圖象畫在同一個直角坐標系中，不可能正確的是（    ）

2、（07江西）設函數是上以5為周期的可導偶函數，則曲線在處的切線的斜率為（　�。�

Ａ、               Ｂ、                  Ｃ、                 Ｄ、

3、（07陜西）是定義在上的非負可導函數，且滿足．對任意正數，若，則必有（    ）

A、                   B、

C、                    D、

4、（06北京）在下列四個函數中，滿足性質：“對于區間（1，2）上的任意,( ).

恒成立”的只有（   ）

A、        B、        C、        D、

5、（06安徽）若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（   ）

 A、    B、    C、    D、

（二）填空題：

6、（06湖南）曲線和在它們的交點處的兩條切線與軸所圍成的三角形的面積是___________；

7、（05北京）過原點作曲線的切線，則切點的坐標為           ，切線的斜率

為        。

（三）解答題：

8、（06北京）已知函數在點處取得極大值5，其導函數 的圖象經過點（1，0），（2，0），如圖所示，求： （Ⅰ）的值； （Ⅱ）的值.                      

9、（06安徽20）已知函數在上有定義，對任何實數和任何實數，都有。（Ⅰ）證明；（Ⅱ）證明  其中和均為常數；（Ⅲ）當（Ⅱ）中的時，設，討論在內的單調性并求極值。

證明（Ⅰ）令，則，∵，∴。

（Ⅱ）①令，∵，∴，則。

假設時，，則，而，∴，即成立。

②令，∵，∴，

假設時，，則，而，∴，即成立�！�成立。

（Ⅲ）當時，，

令，得；

當時，，∴是單調遞減函數；

當時，，∴是單調遞增函數；

所以當時，函數在內取得極小值，極小值為

導數的應用080626

例1、（07山東22）設函數，其中．

（Ⅰ）當時，判斷函數在定義域上的單調性；

（Ⅱ）求函數的極值點；

（Ⅲ）證明對任意的正整數，不等式都成立．

解：（Ⅰ）由題意知，的定義域為，

設，其圖象的對稱軸為，

．

當時，，

即在上恒成立，

當時，，

當時，函數在定義域上單調遞增．

（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，當時，函數無極值點．

②時，有兩個相同的解，

時，，

時，，

時，函數在上無極值點．

③當時，有兩個不同解，，，

時，，，

即，．

時，，隨的變化情況如下表：

極小值

由此表可知：時，有惟一極小值點，

當時，，

，

此時，，隨的變化情況如下表：

極大值

極小值

由此表可知：時，有一個極大值和一個極小值點；

綜上所述：

時，有惟一最小值點；

時，有一個極大值點和一個極小值點；

時，無極值點．

（Ⅲ）當時，函數，

令函數，

則．

當時，，所以函數在上單調遞增，

又．

時，恒有，即恒成立．

故當時，有．

對任意正整數取，則有．

所以結論成立．

例2、（06全國Ⅰ21）已知函數。（Ⅰ）設，討論的單調性；（Ⅱ）若對任意恒有，求的取值范圍。

解(Ⅰ)f(x)的定義域為(－∞,1)∪(1,+∞).對f(x)求導數得 f '(x)= e^－ax.  

(?)當a=2時, f '(x)= e^－2x, f '(x)在(－∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于0, 所以f(x)在(－∞,1), (1,+∞).為增函數.

(?)當0<a<2時, f '(x)>0, f(x)在(－∞,1), (1,+∞)為增函數.

(?)當a>2時, 0<<1, 令f '(x)=0 ,解得x₁= － , x₂= .

當x變化時, f '(x)和f(x)的變化情況如下表:

x

(－∞, －)

(－,)

(,1)

(1,+∞)

f '(x)

＋

－

＋

＋

f(x)

ㄊ

ㄋ

ㄊ

ㄊ

f(x)在(－∞, －), (,1), (1,+∞)為增函數, f(x)在(－,)為減函數.

(Ⅱ)(?)當0<a≤2時, 由(Ⅰ)知: 對任意x∈(0,1)恒有f(x)>f(0)=1.

(?)當a>2時, 取x₀= ∈(0,1),則由(Ⅰ)知 f(x₀)<f(0)=1

(?)當a≤0時, 對任意x∈(0,1),恒有 >1且e^－ax≥1,得

f(x)= e^－ax≥ >1. 綜上當且僅當a∈(－∞,2]時,對任意x∈(0,1)恒有f(x)>1。

例3、（06天津20）已知函數，其中為參數，且．（1）當時，判斷函數是否有極值；（2）要使函數的極小值大于零，求參數的取值范圍；（3）若對（2）中所求的取值范圍內的任意參數，函數在區間內都是增函數，求實數的取值范圍。

（Ⅰ）當時，，則在內是增函數，故無極值 

（Ⅱ），令，得

由（Ⅰ），只需分下面兩種情況討論 

①當時，隨x的變化的符號及的變化情況如下表：

x

0

+

0

-

0

+

ㄊ

極大值

ㄋ

極小值

ㄊ

因此，函數在處取得極小值，

且 

要使，必有，可得

由于，故 

②當時，隨x的變化，的符號及的變化情況如下表：

+

0

-

0

+

極大值

極小值

因此，函數處取得極小值，且

若，則。矛盾。所以當時，的極小值不會大于零 

故參數的取值范圍為 

（III）由（II）知，函數在區間與內都是增函數 

由題設，函數內是增函數，則a須滿足不等式組

　或　　

由（II），參數時時，

要使不等式關于參數恒成立，

必有，即

解得或　　

所以的取值范圍是  

例4、（04福建16）如圖1，將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個無蓋的正六棱柱容器.當這個正六棱柱容器的底面邊長為         時，其容積最大。

（一）選擇題：

1、（06天津）函數的定義域為開區間，導函數在內的圖象如圖所示，則函數在開區間內有極小值點（　   ）

A、1個          B、2個

C、3個          D、4個

2、（06江西）對于上可導的任意函數，若滿足，則必有（   ）

A、     B、

C、    D、

（二）填空題：

3、（07江蘇）已知函數在區間上的最大值與最小值分別為，，則_____；

4、（05重慶）曲線處的切線與x軸、直線所圍成的三角形的面積為=             。

（三）解答題：

5、（07海南21）設函數

（I）若當時，取得極值，求的值，并討論的單調性；

（II）若存在極值，求的取值范圍，并證明所有極值之和大于．

解：

（Ⅰ），

依題意有，故．

從而．

的定義域為，當時，；

當時，；

當時，．

從而，分別在區間單調增加，在區間單調減少．

（Ⅱ）的定義域為，．

方程的判別式．

（?）若，即，在的定義域內，故的極值．

（?）若，則或．

若，，．

當時，，當時，，所以無極值．

若，，，也無極值．

（?）若，即或，則有兩個不同的實根，．

當時，，從而有的定義域內沒有零點，故無極值．

當時，，，在的定義域內有兩個不同的零點，由根值判別方法知在取得極值．

綜上，存在極值時，的取值范圍為．

的極值之和為

．

6、（07福建22）已知函數

（Ⅰ）若，試確定函數的單調區間；

（Ⅱ）若，且對于任意，恒成立，試確定實數的取值范圍；

（Ⅲ）設函數，求證：。

本小題主要考查函數的單調性、極值、導數、不等式等基本知識，考查運用導數研究函數性質的方法，考查分類討論、化歸以及數形結合等數學思想方法，考查分析問題、解決問題的能力．滿分14分．

解：（Ⅰ）由得，所以．

       由得，故的單調遞增區間是，

       由得，故的單調遞減區間是．

       （Ⅱ）由可知是偶函數．

       于是對任意成立等價于對任意成立．

       由得．

       ①當時，．

       此時在上單調遞增．

       故，符合題意．

       ②當時，．

       當變化時的變化情況如下表：

單調遞減

極小值

單調遞增

由此可得，在上，．

依題意，，又．

綜合①，②得，實數的取值范圍是．

（Ⅲ），

，

，

由此得，

故．

7、（07湖北20）已知定義在正實數集上的函數，，其中．設兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同．

（I）用表示，并求的最大值；

（II）求證：（）．

分析：本小題主要考查函數、不等式和導數的應用等知識，考查綜合運用數學知識解決問題的能力．

解：（Ⅰ）設與在公共點處的切線相同．

，，由題意，．

即由得：，或（舍去）．

即有．

令，則．于是

當，即時，；

當，即時，．

故在為增函數，在為減函數，

于是在的最大值為．

（Ⅱ）設，

則．

故在為減函數，在為增函數，

于是函數在上的最小值是．

故當時，有，即當時，。

8、（05湖北）已知向量在區間（－1，1）上是增函數，求的取值范圍。

9、（05江蘇22）已知函數（Ⅰ）當時，求使成立的的集合；（Ⅱ）求函數在區間[1,2]上的最小值。

[分析]:本題是一道函數與導數綜合運用問題,第一問對x進行討論,得出方程,進而求出x的值;第二問對a進行討論,結合函數的一階導數值判斷函數在區間上的單調性,進而求出函數的最小值.

[解答]:

   (Ⅰ)由題意,f(x)=x²

當x<2時,f(x)=x²(2-x)=x,解得x=0,或x=1;

當x

綜上所述,所求解集為.

(Ⅱ)設此最小值為m.

①當

            因為:

            則f(x)是區間[1,2]上的增函數,所以m=f(1)=1-a..

②當1<a.

③當a>2時，在區間[1，2]上，

             若在區間(1，2)內f^/(x)>0,從而f(x)為區間[1，2]上的增函數，

             由此得：m=f(1)=a-1.

             若2<a<3,則

             當

             當

             因此，當2<a<3時，m=f(1)=a-1或m=f(2)=4(a-2).

             當;

             當

             綜上所述，所求函數的最小值

  [評析]:本題主要考查運用導數研究函數性質的方法,同時考查了分類討論轉化化歸的數學思想，以及相關分析推理、計算等方面的能力。