題目列表(包括答案和解析)
3、復合法:例如,求函數)的值域。可用復合法:
設, ①
則. ②
把函數②寫成
∴函數y的值域是。
其中,把函數寫成①、②兩個函數的復合,即
y=f(u), u=sinx。
這就是復合映射的方法,簡稱復合法。其實質是一種換元法。本節暫不深究,以后再學習。
問7.怎樣求f(x)?舉例說明。
[探路]
求f(x)的方法應該是具體問題具體分析,依據問題的已知條件和問題類型,自我探索求法。這里,
只能總結常用的方法,當然,這一總結也應該是“自我總結”,因為“自我總結”是學習的上策。
[解]求f(x)的常用方法是:
2、分段法:掌握分段函數。
例如,把函數y=|x+1|-|x-2|化為分段函數是
1、一般表示法:解析法、圖象法、列舉法。
4、應該知道,函數的決定性要素是兩個:定義域和對應法則,而值域是由定義域和對應法則確定的,
因而今后有“求函數的值域”的很多難題。因此,研究函數的任何問題都必須由定義域和對應法
則這兩個獨立要素下手。但很多人往往“忽視定義域”的錯誤。
問5:怎樣判別兩個函數是否為同一函數?
[解]要根據函數三要素來判別。
判別法一(充要):“定義域相同”且“對應法則等價”。
判別法二(充要):兩個函數的圖象完全重合,則兩函數是同一函數。
判別法三(必要):
(1)定義域不同,則函數不同。
(2)值域不同,則函數不同。
問6:怎樣表示函數?
[解]應掌握以下表示法:
3、值域C是B的子集,當B中的每一元素都有原象時,B=C。
2、函數符號y=f(x)表示“y是x的函數”,有的簡記作函數f(x)。而f(a)表示自變量x=a(a∈A) 時
的函數值(象)。
1、函數是特殊的映射,特別僅在A、B是非空數集。函數、一一映射、映射、對應之間的關系,
如圖1所示。
4、映射是一種特殊的“對應”。而“對應”與集合一樣,也是原始概念,即無定義的,但可以“說
明”:對應是兩個集合A與B的關系,通常以一個集合為主來考慮,對于A中的每一個元素來說,有
以下三種對應關系:
(1)B中有唯一元素與之對應。
(2)B中有多個元素(不是唯一)與之對應。
(3)B中沒有元素與之對應。
映射就是第(1)種對應,而(2)、(3)兩種對應不是映射。
問2:在映射f∶A→B中,什么叫“象”和“原象”?怎樣判別一個對應是否是映射?試舉一個正例和反例。
[解]在映射f∶A→B中,如果a∈A,b∈B,且元素a和元素b對應,那么,元素b叫做元素a的象,元素a叫
做元素b的原象,記作:f(a)=b。
判別一個對應是映射f∶A→B的要點是:
①A到B;
②A中每一個元素都有象,且象唯一
例如,判別下面的對應是不是映射f∶A→B?
(1)A={三角形},B={圓},對應法則f∶作三角形的外接圓。
(2)A=B=R,對應法則f∶x→y=
解:(1)是映射。(2)不是映射,因為0∈A,但0的象不存在。
問3:什么叫A到B上的一一映射?試舉一個正例和反例。
[解]如果映射f∶A→B再滿足:
那么這個映射叫做A到B上的一一映射。
例如,下面的映射f∶A→B是不是一一映射?
(1)A={三角形},B={圓},對應法則f∶作三角形的外接圓。
(2)A={x|x≥0},B={y|y≥0},對應法則f∶x→y=x2.
解:
(1)不是一一映射,因為不同的三角形可以有同一個外接圓(一個圓的內接三角形有無數個),
即A中不同元素在B中有同一個象。
(2)是一一映射,因為它滿足一一映射的條件:
①設x1,x2∈A,且x1≠x2,則由x1≥0,x2≥0,x1≠x2Þy1==y2;
②設任一個y1∈B,則由x1≥0Þy1=x2Þx=。
問4:什么叫函數(用映射回答)?函數的定義域、值域?指出函數的要素。
[解]
如果A,B都是非空數集,那么A到B的映射f∶A→B就叫做A到B的函數,記作y=f(x)(x∈A,y∈B)。
原象的集合A叫做函數y=f(x)的定義域;象的集合C(CÍB)叫做函數y=f(x)
的值域。
函數的定義域、對應法則和值域,通常稱為函數的三要素。
[評注]
3、在A到B的映射中,集合A中的每一個元素在B中都有“象”,且“象”唯一。
2、映射f∶A→B是有方向的,即從A到B,定義中只要求A中的每一個元素在B中有怎樣的“象”?并不
要求B中的每一個元素在A中有怎樣的對應。因此,“從A到B的映射”與“從B到A的映射”是不
同的。
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