Question

1．已知：AB=AC=BD=kBE，∠BAC=2∠BED，∠DBE=90°，點O為CE的中點，連接CD、AO．
（1）如圖1，C，D、E在一條直線上，k=1，①求∠BDE的度數；②線段AO，CD有怎樣的關系？請證明你的結論；
（2）如圖2，將△BED繞點B旋轉，其他條件不變，求$\frac{CD}{AO}$的值．（用含k的式子表示）

Answer 1

分析 （1）①根據等腰直角三角形的性質和已知條件求出∠BDE的度數；
②延長CA至M，使AM=AC，連接BM、EM，證明△EBM≌△DBC，得到CD=EM，根據三角形中位線定理證明AO=$\frac{1}{2}$EM，得到答案；
（2）延長CA至G，使AG=AC，連接BG、EG、BC，證明△GBC∽△EBD和△GBE∽△CBD，根據相似三角形的性質得到答案．

解答 解：（1）①BD=k•BE，k=1，
∴BD=BE，
∴∠BDE=∠BED，
又∵∠DBE=90°，
∴∠BDE=45°；
②AO=$\frac{1}{2}$CD；理由如下：
延長CA至M，使AM=AC，連接BM、EM，如圖1所示：
∵∠BDE=∠BED，∠BDE=45°，
∴∠BED=45°，
∵∠BAC=2∠BED，
∴∠BAC=90°，又AB=AC，
∴∠ACB=45°，
∵AM=AC，AB=AC，
∴∠MBC=90°，
∴BM=BC，
∵∠DBE=90°，∠MBC=90°，
∴∠EBM=∠DBC，
在△EBM和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BD}\\{∠EBM=∠DBC}\\{BM=BC}\end{array}\right.$，
∴△EBM≌△DBC（SAS），
∴CD=EM，
∵點O為CE的中點，AM=AC，
∴AO=$\frac{1}{2}$EM，
∴AO=$\frac{1}{2}$CD；
（2）延長CA至G，使AG=AC，連接BG、EG、BC如圖2所示：
∵AG=AC，AB=AC，
∴∠GBC=90°，
又∵∠DBE=90°，
∴∠EBG=∠DBC，
∵AG=AB，
∴∠ABG=∠AGB，
∴∠BAC=2∠ABG，又∠BAC=2∠BED，
∴∠ABG=∠BED，又∠GBC=∠DBE=90°，
∴△GBC∽△EBD，
∴$\frac{BG}{BC}$=$\frac{BE}{BD}$，
又∵∠ABG=∠AGB，
∴△GBE∽△CBD，
∴$\frac{CD}{GE}$=$\frac{BD}{BE}$=k，
∴CD=k•GE，
∵EO=OC，GA=AC，
∴GE=2OA，
∴CD=2k•OA，
∴$\frac{CD}{OA}$=2k．

點評 本題考查了相似三角形判定與性質、全等三角形判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質等知識；本題綜合性強，需作輔助線，構造相似三角形，并運用全等三角形的判定與性質和相似三角形的判定與性質是解決問題的關鍵．