Question

9．如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是AB邊上的中點，點D、E分別在AC、BC邊上，且∠DOE=90°，DE交OC于P，下列結論：
①圖中的全等三角形共有3對；
②AD=CE；
③∠CDO=∠BEO；
④OC=DC+CE；
⑤△ABC的面積是四邊形DOEC面積的2倍．
正確的是①②③⑤．（填序號）

Answer 1

分析 根據等腰三角形的性質，直角三角形斜邊上的中線性質，三角形內角和定理，等腰三角形的性質得出∠A=∠B=45°，CO=AO=BO，CO⊥AB，∠ACO=∠BCO=45°，求出∠A=∠ECO，∠B=∠DCO，∠COA=∠COB=90°，∠AOD=∠COE，∠COD=∠BOE，根據ASA推出△COE≌△AOD，△COD≌△BOE，根據全等三角形的性質得出S_△COE=S_△AOD，AD=CE，∠CDO=∠BEO，再逐個判斷即可．

解答 解：∵在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是AB邊上的中點，
∴∠A=∠B=45°，CO=AO=BO，CO⊥AB，∠ACO=∠BCO=45°，
∴∠A=∠ECO，∠B=∠DCO，∠COA=∠COB=90°，
∵∠DOE=90°，
∴∠AOD=∠COE=90°-∠COD，∠COD=∠BOE=90°-∠COE，
在△COE和△AOD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ECO=∠A}\\{CO=AO}\\{∠COE=∠DOA}\end{array}\right.$
∴△COE≌△AOD（ASA），
同理△COD≌△BOE，
∴S_△COE=S_△AOD，AD=CE，∠CDO=∠BEO，△ABC的面積是四邊形DOEC面積的2倍，
在△AOC和△BOC中
$\left\{\begin{array}{l}{CO=CO}\\{AC=BC}\\{AO=BO}\end{array}\right.$
∴△AOC≌△BOC，
∵AD=CE，
∴CD+CE=AC，
∵∠COA=90°，
∴CO＜AC，
∴OC=DC+CE錯誤；
即①②③⑤正確，④錯誤；
故答案為：①②③⑤．

點評 本題考查了全等三角形的性質和判定，等腰三角形的性質，直角三角形斜邊上的中線性質，三角形內角和定理，等腰三角形的性質的應用，能求出△COE≌△AOD和△COD≌△BOE是解此題的關鍵．