(本題滿分15分)
已知函數.
(Ⅰ)當時,試判斷
的單調性并給予證明;
(Ⅱ)若有兩個極值點
.
(i) 求實數a的取值范圍;
(ii)證明:。 (注:
是自然對數的底數)
(1)在R上單調遞減 (2)
,對于函數中不等式的證明,一般要功過構造函數來結合函數的最值來證明不等式的成立。
解析試題分析:解:(1)當時,
,
在R上單調遞減 …………1分
,只要證明
恒成立, …………………………2分
設,則
,
當時,
,
當時,
,當
時,
………………4分
,故
恒成立
所以在R上單調遞減 ……………………6分
(2)(i)若有兩個極值點
,則
是方程
的兩個根,
故方程有兩個根
,
又顯然不是該方程的根,所以方程
有兩個根, …………8分
設,得
若時,
且
,
單調遞減
若時,
時
,
單調遞減
時
,
單調遞增 ……………………………10分
要使方程有兩個根,需
,故
且
故的取值范圍為
……………………………………12分
法二:設,則
是方程
的兩個根,
則,
當時,
恒成立,
單調遞減,方程
不可能有兩個根
所以,由
,得
,
當時,
,當
時,
,得
(ii) 由,得:
,故
,
,
………………14分
設,則
,
上單調遞減
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
(本題滿分12分)
設函數(a>0,b,cÎR),曲線
在點P(0,f (0))處的切線方程為
.
(Ⅰ)試確定b、c的值;
(Ⅱ)是否存在實數a使得過點(0,2)可作曲線的三條不同切線,若存在,求出a的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分14分)已知函數(其中e是自然對數的底數,k為正數)
(1)若在
處取得極值,且
是
的一個零點,求k的值;
(2)若,求
在區間
上的最大值.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知函數在
上為增函數,且
,
為常數,
.
(1)求的值;
(2)若在
上為單調函數,求
的取值范圍;
(3)設,若在
上至少存在一個
,使得
成立,求
的取值范圍.
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