Question

下面四個圖案，都是由小正三角形構成，設第n個圖形中所有小正三角形邊上黑點的總數為.
          
圖1            圖2                圖3                        圖4
（1）求出,,,;
（2）找出與的關系，并求出的表達式；
（3）求證：().

Answer 1

（1）12,27,48,75.
（2）， ．
（3）利用“放縮法”。．

解析試題分析：（1）由題意有
，
，
，
，
．                              2分
（2）由題意及（1）知，，    4分
即，
所以，
，
，
，                           5分
將上面個式子相加，得：


                                               6分
又，所以．                    7分
（3）
∴．            9分
當時，，原不等式成立．        10分
當時，，原不等式成立．   11分
當時，



， 原不等式成立．                 13分                                                   
綜上所述，對于任意，原不等式成立．         14分
考點：歸納推理，不等式的證明，“裂項相消法”。
點評：中檔題，本題綜合性較強，注意從圖形出發，發現規律，確定“遞推關系”。不等式的證明問題，往往需要先放縮，后求和，再證明。