廣東省2009屆高三數學模擬試題分類匯總――立體幾何
一、選擇題
1、(2009揭陽)某師傅需用合板制作一個工作臺,工作臺由主體和附屬兩部分組成,主體部分全封閉,附屬部分是為了防止工件滑出臺面而設置的三面護墻,其大致形狀的三視圖如右圖所示(單位長度: cm), 則按圖中尺寸,做成的工作臺用去的合板的面積為(制作過程合板的損耗和合板厚度忽略不計)( 。〥 w
.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A.
B
C.
D.
2、(2009廣東五校)在下列關于直線、
與平面
、
的命題中,真命題是( )B
(A)若,且
,則
(B)若
,且
,則
(C)若,且
,則
(D)若
,且
,則
A. B.
C.
D.
4、(2009吳川)已知α、β是兩個不同平面,m、n是兩條不同直線,則下列命題不正確的是( )D
A.則
B.m∥n,m⊥α,則n⊥α
C.n∥α,n⊥β,則α⊥β D.m∥β,m⊥n,則n⊥β
5、(2009北江中學)如圖是一個空間幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖,如果主視圖、左視圖所對應的三角形皆為邊長為2的正三角形,主視圖對應的四邊形為正方形,那么這個幾何體的體積為( )B
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A. B.
C.
D.不確定
6、(2009北江中學)已知是兩個不同的平面,m,n是兩條不同的直線,給出下列命題:
①若;
②若;
③如果相交;
④若
其中正確的命題是 ( ) D
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
A. B.
C. D.
8、(2009潮州)設、
、
是空間不同的直線或平面,對下列四種情形:
①
、
、
均為直線;②
、
是直線,
是平面;③
是直線,
、
是平面;④
、
、
均為平面。
其中使“⊥
且
⊥
∥
”為真命題的是 ( 。〤
A ③ ④ B ① ③ C ② ③ D ① ②
9、(2009澄海)設m,n是兩條不同的直線,,
,
是三個不同的平面,給出下列四個命題:
①若m⊥,n∥
,則m⊥n;
②若∥
,
∥
,m⊥
,則m⊥
;
③若m∥
,n∥
,則m∥n;
④若⊥
,
⊥
,則
∥
.
其中正確命題的序號是( 。〢
A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④
10、(2009韶關田家炳)設是兩條不同的直線,
是兩個不同的平面,下列命題中,其中正確的命題是( )
A. B.
C. D.
二、解答題
1、(2009廣雅期中)已知四棱錐的三視圖如下圖所示,
是側棱
上的動點.
(1) 求四棱錐的體積;
(2) 是否不論點在何位置,都有
?證明你的結論;
(3) 若點為
的中點,求二面角
的大小.
2、(2009廣雅期中)如圖,已知
平面
,
平面
,△
為等邊三角形,
,
為
的中點.
(1) 求證:平面
;
(2) 求證:平面平面
;
(3) 求直線和平面
所成角的正弦值.
3、(09廣東四校理期末)如圖所示,在矩形ABCD中,AD=2AB=2,點E是AD的中點,將△DEC沿CE折起到△D′EC的位置,使二面角D′―EC―B是直二面角.
(1)證明:BE⊥C D′;
(2)求二面角D′―BC―E的正切值.
4(09廣東四校文期末)如圖:直三棱柱ABC-A1B
(Ⅰ)求證:CD⊥平面A1ABB1;
(Ⅱ)求三棱錐A1-CDE的體積.
5、(09北江中學文期末)如圖,在底面是矩形的四棱錐中,
面
,
、
為別為
、
的中點,且
,
,
(Ⅰ)求四棱錐的體積;
(Ⅱ)求證:直線∥平面
![]() |
6、(2009廣東東莞)在直三棱柱中,
,
,且異面直線
與
所成的角等于
,設
.
(1)求
的值;
(2)求平面與平面
所成的銳二面角的大小.
7、(2009廣州海珠)如圖6,在直角梯形ABCP中,AP//BC,APAB,AB=BC=
,D是AP的中點,E,F,G分別為PC、PD、CB的中點,將
沿CD折起,使得
平面ABCD,如圖7.
(Ⅰ)求證:AP//平面EFG;
(Ⅱ) 求二面角的大小;
(Ⅲ)求三棱椎
的體積.
![]() |
(Ⅰ)求證:平面
;
(Ⅱ) 求點到平面
的距離;
(Ⅲ)求直線平面
所成角的正弦值.
9、(2009廣東揭陽)如圖,已知
是底面為正方形的長方體,
,
,點
是
上的動點.
(1)試判斷不論點在
上的任何位置,是否都有平面
垂直于平面
?并證明你的結論;
(2)當為
的中點時,求異面直線
與
所成角的余弦值;
(3)求與平面
所成角的正切值的最大值.
10、(2009廣東潮州期末)如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形,
,
垂直于底面
,
分別為
的中點。
(1)求證:;(2)求
與平面
所成的角;(3)求截面
的面積。
11、(2009珠海期末)已知平面
,
,
與
交于
點,
,
,
(1)取
中點
,求證:
平面
。
(2)求二面角的余弦值。
12、(2009中山期末)如圖,四面體ABCD中,O、E分別是BD、BC的中點,
(I)求證:平面BCD;
(II)求異面直線AB與CD所成角的余弦;
(III)求點E到平面ACD的距離.
答案:
1、解:(1) 由三視圖可知,四棱錐的底面是邊長為1的正方形,
側棱底面
,且
.
…………2分
∴,
即四棱錐的體積為
.
…………4分
(2) 不論點在何位置,都有
.
…………5分
證明如下:連結
,∵
是正方形,∴
. …………6分
∵底面
,且
平面
,∴
. …………7分
又∵,∴
平面
.
…………8分
∵不論點在何位置,都有
平面
.
∴不論點在何位置,都有
. …………9分
(3) 解法1:在平面內過點
作
于
,連結
.
∵,
,
,
∴Rt△≌Rt△
,
從而△≌△
,∴
.
∴為二面角
的平面角. …………12分
在Rt△中,
,
又,在△
中,由余弦定理得
,
…………13分
∴,即二面角
的大小為
.
…………14分
解法2:如圖,以點為原點,
所在的直線分別為
軸建立空間直角
坐標系. 則,從而
,
,
,
. …………10分
設平面和平面
的法向量分別為
,
,
由,取
. …………11分
由,取
. …………12分
設二面角的平面角為
,則
,
…………13分
∴,即二面角
的大小為
. …………14分
2、方法一:
(1) 證法一:取的中點
,連
.
∵為
的中點,∴
且
. …………1分
∵平面
,
平面
,
∴,∴
.
…………2分
又,∴
.
…………3分
∴四邊形為平行四邊形,則
. …………4分
∵平面
,
平面
,
∴平面
.
…………5分
證法二:取的中點
,連
.
∵為
的中點,∴
.
…………1分
∵平面
,
平面
,∴
.
…………2分
又,
∴四邊形為平行四邊形,則
.
…………3分
∵平面
,
平面
,
∴平面
,
平面
.
又,∴平面
平面
.
…………4分
∵平面
,
∴平面
.
…………5分
(2) 證:∵為等邊三角形,
為
的中點,∴
. …………6分
∵平面
,
平面
,∴
.
…………7分
又,故
平面
.
…………8分
∵,∴
平面
. …………9分
∵平面
,
∴平面平面
.
…………10分(3)
解:在平面內,過
作
于
,連
.
∵平面平面
, ∴
平面
.
∴為
和平面
所成的角.
…………12分
設,則
,
,
R t△中,
.
∴直線
和平面
所成角的正弦值為
. …………14分
方法二:
設,建立如圖所示的坐標系
,則
.…………2分
∵為
的中點,∴
. …………3分
(1) 證:, …………4分
∵,
平面
,∴
平面
. …………5分
(2) 證:∵, …………6分
∴,∴
. …………8分
∴平面
,又
平面
,
∴平面平面
. …………10分
(3) 解:設平面的法向量為
,由
可得:
,取
. …………12分
又,設
和平面
所成的角為
,則
.
∴直線和平面
所成角的正弦值為
.
…………14分
3、解:(1)∵AD=2AB=2,E是AD的中點,
∴△BAE,△CDE是等腰直角三角形,
易知, ∠BEC=90°,即BE⊥EC.
又∵平面D′EC⊥平面BEC,面D′EC∩面BEC=EC,
∴BE⊥面D′EC,又C D′Ì 面D′EC , ∴BE⊥CD′;
(2)法一:設M是線段EC的中點,過M作MF⊥BC
垂足為F,連接D′M,D′F,則D′M⊥EC.
∵平面D′EC⊥平面BEC,
∴D′M⊥平面EBC,
∴MF是D′F在平面BEC上的射影,由三垂線定理得:
D′F⊥BC
∴∠D′FM是二面D′―BC―E的平面角.
在Rt△D′MF中,D′M=EC=
,MF=
AB=
∴
即二面角D′―BC―E的正切值為.
法二:如圖,以EB,EC為x軸、y軸,過E垂直于平面BEC的射線為z軸,建立空間直角坐標系.
則B(,0,0),C(0,
,0),D′(0,
,
)
設平面BEC的法向量為;平面D′BC的法向量為
Þ tan= ∴二面角D′―BC―E的正切值為
.
4、解:(1)在Rt△DBE中,BE=1,DE=,∴BD=== AB,∴ 則D為AB中點, 而AC=BC, ∴CD⊥AB
又∵三棱柱ABC-A1B
又 AA1∩AB=A 且 AA1、AB Ì 平面A1ABB1
故 CD⊥平面A1ABB1 6分
(2)解:∵A1ABB1為矩形,∴△A1AD,△DBE,△EB
∴
=2×2-××2-××1-×2×1=
∴ VA1-CDE =VC-A1DE = ×SA1DE ×CD= ××=1
∴ 三棱錐A1-CDE的體積為1. 14分
5、解:(1)取AD的中點O,連接EO,則EO是PAD的中位線,得EO∥PA,故EO
ABCD,
EO是四棱錐的高,
6分
(2)取PC的中點G,連EG,FG, 由中位線得EG∥CD,EG=CD=AF,
四邊形AFGE是平行四邊形,
∥
6分
6、解法一:(1)
,
就是異面直線
與
所成的角,
即,……(2分)
連接,又
,則
為等邊三角形,……………………………4分
由,
,
;………6分
(2)取的中點
,連接
,過
作
于
,連接
,
,
平面
………………8分
又,所以
平面
,即
,
所以就是平面
與平面
所成的銳二面角的平面角!10分
在中,
,
,
,
,…………………………13分
因此平面與平面
所成的銳二面角的大小為
!14分
說明:取的中點
,連接
,…………同樣給分(也給10分)
解法二:(1)建立如圖坐標系,于是,
,
,
(
)
,
,
…………3分
由于異面直線
與
所成的角
,
所以與
的夾角為
即
………6分
(2)設向量且
平面
于是且
,即
且
,
又,
,所以
,不妨設
……8分
同理得,使
平面
,(10分)
設與
的夾角為
,所以依
,
,………………12分
平面
,
平面
,
因此平面與平面
所成的銳二面角的大小為
。…………14分
說明:或者取的中點
,連接
,于是
顯然
平面
7、解:(Ⅰ) 證明:方法一)連AC,BD交于O點,連GO,FO,EO.
∵E,F分別為PC,PD的中點,,同理
,
四邊形EFOG是平行四邊形,
平面EFOG. ……3分
又在三角形PAC中,E,O分別為PC,AC的中點,PA//EO……4分
平面EFOG,PA
平面EFOG, ……5分
PA//平面EFOG,即PA//平面EFG. ……6分
方法二) 連AC,BD交于O點,連GO,FO,EO.
∵E,F分別為PC,PD的中點,,同理
又,
平面EFG//平面PAB, ……4分
又PA
平面PAB,
平面EFG. ……6分
方法三)如圖以D為原點,以
為方向向量建立空間直角坐標系.
則有關點及向量的坐標為:
……2分
設平面EFG的法向量為
取
.……4分
∵,……5分
又平面EFG.
AP//平面EFG. ……6分
(Ⅱ)由已知底面ABCD是正方形,又∵
面ABCD
又
平面PCD,
向量
是平面PCD的一個法向量,
=
……8分
又由(Ⅰ)方法三)知平面EFG的法向量為……9分
……10分
結合圖知二面角的平面角為
……11分
(Ⅲ) ……13分
|