專題十：數列的極限與函數的導數
瓶窯中學 童國才
【考點審視】
極限與導數作為初等數學與高等數學的銜接點，新課程卷每年必考，主要考查極限與導數的求法及簡單應用�？v觀近年來的全國卷與各省市的試卷，試題呈“一小一大”的布局，“小題”在選擇、填空題中出現時，都屬容易題；“大題”在解答題中出現時，極限通常與其它數學內容聯系而構成組合題，主要考查極限思想與方法的靈活應用能力；導數的考查常給出一個含參的函數或應用建模，通過求導、分析函數的單調性與最值，考查“數形結合”、“分類討論”等數學思想方法的綜合運用能力。從2004年各地的高考試卷看，考生在備考時，應從下列考點夯實基礎，做到以不變應萬變：
（1）從數列或函數的變化趨勢了解極限概念，理解三個基本極限：
1)
是常數）,2)
,3)
.
(2)明確極限四則運算法則的適用條件與范圍，會求某些數列和函數的極限。
（3）了解函數連續的意義，理解閉區間上連續函數有最大值和最小值。
（4）了解導數的概念，掌握函數在一點處的導數定義，理解導函數的概念。
（5）熟記八個基本導數公式，掌握求導的四則運算法則，理解復合函數的求導法則，會求簡單函數的導數。
（6）掌握導數的幾何意義與物理意義，理解可導函數的單調性、極值與導數的關系，強化用導數解決實際問題的能力。
【疑難點撥】：1，極限的四則運算法則，只有當兩數列或兩函數各自都有極限時才能適用。對
、
、
、
型的函數或數列的極限，一般要先變形或化簡再運用法則求極限。例如（2004年遼寧，14）
=
【分析】這是型，需因式分解將分母中的零因子消去，故
=
=
。
2，極限的運算法則僅可以推廣到有限個數列或函數，對于無窮項的和或積必須先求和或積再求極限；商的極限法則，必須分母的極限不為零時才適用。例如：
（2004年廣東,4）
…+
)的值為…（ ）
（
）-1
（
）0
（
）
（
）1
【分析】這是求無窮項的和，應先求前
項的和再求極限
=
，∴原式=
=-1，故選
。
3，無窮等比數列的公比
，當||
1時，各項的和
及重要應用。例如（2004年上海，4）設等比數列
（
）的公比
，且
=
，則
【分析】數列
是首項為
，公比是
的等比數列，∴=
=，解得=2。
4，當且僅當
時，
，
時
可有定義也可無定義。例如下列命題正確的是……………………………………………( )
()若
,則
，
若
,則
，
若
,則
， (D)若
,則
。
【分析】()中
無定義，（）中
無定義，而(D) 
，
，故是正確的。
5，函數在處連續是指
，注意：有極限是連續的必要條件，連續是有極限的充分條件。
6，導數的概念要能緊扣定義，用模型解釋，記住典型反例。例如
在（
，）處的導數存在嗎？為什么？
【分析】
，
∴在（，）處的導數不存在。
7，導數的求法要熟練、準確，須明確（1）先化簡，再求導，（2）復合函數靈活處理，（3）有時要回到定義中求導。
8，導數的幾何意義是曲線切線的斜率，物理意義是因變量對自變量的變化率。導數的應用應盡可能全面、深入，注重掌握以下幾方面的問題：曲線切線方程的求法、函數單調性與函數作圖、函數極值與最值求法、有關方程與不等式問題、有關近似計算問題、實際應用題。
【經典題例】
【例１】求下列數列的極限：
（１）
；（２）
（
）；
（３）
；
（４）已知
，數列{
}滿足
，若{}的極限存在且大于零，求
的值。
【例２】求下列函數的極限：
（1）
（2）
（3）
（4）
【例３】求下列函數的導函數：
（１）
＝
； （２）＝
；
�。ǎ常�＝
； �。ǎ矗┮阎�＝
，求
。
【例４】設
（
），
（
+
）。（Ⅰ）用和
表示
；（Ⅱ）當
時，
求
的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求
的取值范圍。
【例５】過點（2，0），求與曲線
相切的直線方程。
【例６】（2004全國卷二，22）已知函數
，
。
（Ⅰ）求函數的最大值；
（Ⅱ）設
，證明
。
【例７】（2004廣東卷，21）設函數=
，其中常數
為整數。
（Ⅰ）當為何值時，
；
（Ⅱ）定理：若函數
在[
]上連續，且
與
異號，則至少存在一點
使
。試用上述定理證明：當整數
時，方程=0，在[
]內有兩個實根。
【例８】溶液自深18
，頂直徑12的圓錐形漏斗中漏入一直徑為10的圓柱形容器中，開始時漏斗中盛滿水，已知當溶液在漏斗中之深為12時，其水平下落的速度為1ㄍ
，問此時圓柱形容器中水面上升的速度是多少？
【熱身沖刺】
一、選擇題：
1、下列數列極限為1的是…………………………………………………………（
）
；
；
；
。
2、已知
，則常數
的值為…………………………………（ ）
（
）
；
3、
]的值是………………………………………………（ ）
不存在；
4、若
在點
處連續，則
（ ）
5、若
為偶函數，且
存在，則
……………………（ ）
（
）0
1
-1；
6、設
是函數
的導函數，
的圖象如圖所示，則
的圖象最有可能的是…………………………………………………………………（ ）
 |
|||
 |
|||
(A) (B) (C) (D)
7、函數
有極值的充要條件是……………………………（ ）
（）
（
）
8、(2004江蘇卷，10)函數
在區間[-3，0]上的最大值、最小值分別是………………………………………………………………………………（ ）
（A）1,-1 （B）1,-17 （C）3,-17 （D）9,-19
9、、
分別是定義
上的奇函數和偶函數。當
時，
，且
，則不等式
的解集是（ ）
（）（-3，0）
（3，
）
（
）
10、三次函數=
在[1，2]內恒為正值的充要條件為………… （
）
（）
；
二、填空題：
11、曲線
與
在交點處的切線夾角是
（以弧度數作答）；
12、
，則
；
13、已知是
的一個三次多項式，若
=
=1，
則
=
14、如圖，
是一塊半徑為1的半圓形紙板，在的左下端剪去一個半徑為
的半圓后得圖形
，然后剪去更小的半圓（其直徑為前一被剪掉半圓的半徑）得圖形
，
，……，
，……，記紙板的面積為
，則
=
三、解答題：
15、已知函數在定義域上可導，設點
是函數
的圖象上距離原點0最近的點。
（Ⅰ）若點的坐標為
，求證：
=0；
（Ⅱ）若函數的圖象不經過坐標原點0，證明直線
與函數的圖象上過點的切線互相垂直。
16、證明：（1）當
時，
；
（2）當
，
時，
。
17、已知函數
在
處取得極值。
（Ⅰ）討論
和
是函數的極大值還是極小值；
（Ⅱ）過點
作曲線的切線，求此切線方程。
18、已知函數
，將滿足
的所有正數從小到大排成數列{
}
（Ⅰ）證明：數列{
}為等比數列；
（Ⅱ）記
是數列{
}的前
項和，求
19、是定義在[0，1]上的增函數，
且在每個區間
上，的圖象都是斜率為同一常數
的直線的一部分。
（Ⅰ）求
及
的值，并歸納出
的表達式。
（Ⅱ）設直線
、
、軸及的圖象圍成的梯形的面積為
20、已知函數
（Ⅰ）求函數的反函數
及的導數；
（Ⅱ）假設對任意
，不等式|
|+
成立，求實數
的取值范圍。
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