1．的共軛復數對應復平面內的點位于                                 

   A．第一象限      B．第二象限         C．第三象限         D．第四象限

2．已知集合,，且，則集合的非空真子集個數最少為

   A．2             B．3                C．6                D．7

3．已知數組滿足線性回歸方程，則“滿足線性回歸方程”是“”的

  A．充分不必要條件                     B．必要不充分條件

  C．充要條件                           D．既不充分也不必要條件

4．函數的部分圖象如圖所示，則的值為

  A．0                 B．2－

  C．1                D．

5．已知向量、滿足，，，則向量在向量方向上的投影是

  A．              B．             C．              D．

6．設，要使在內連續，則的值為  

  A．              B．               C．6                D．

7．從8個不同的數中選出5個數構成函數（）的值域，如果8個不同的數中的A、B兩個數不能是對應的函數值，那么不同的選法種數為

  A．          B．            C．           D．無法確定

8．設分別是雙曲線的左、右焦點，若雙曲線右支上存在一點，使（為坐標原點），且，則雙曲線的離心率為

  A．         B．           C．          D．

9．當實數、滿足不等式組時，恒有成立，則實數的取值范圍為                                                                 

  A．          B．         C．          D．

10.如圖，在正四棱柱中，

．過頂點在空間作直線，使與直線和

所成的角都等于60º，這樣的直線最多可作

  A．1條      B．2條       C．3條       D．4 條

11．的展開式中不含的項的系數和為            (結果化成最簡形式).

12．已知函數與函數的圖像關于直線對稱，則的值為          .

13．如圖，是球面上三點，且，，，若球心到截面的距離為，則該球的表面積為            .

14．設圓，直線，點，使得圓上存在點，且(為坐標原點)，則點的橫坐標的取值范圍是             .

15．已知數列滿足：，定義使為整數的數叫做企盼數，則區間內的企盼數共有       個.

16．(本小題滿分12分)

   中，內角的對邊分別為, 向量，

，且.

   (1) 求角的大�。�

   (2) 若，，求．

17．(本小題滿分12分)

設，用隨機變量表示方程實根的個數（重根按一個計）．

   (1) 求方程有實根的概率；

   (2) 求的分布列和數學期望．

18．（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐中，⊥平面，⊥平面，，.

(1) 證明：；

(2) 點為線段上一點，求直線與平面所成角的取值范圍．

19.（本小題滿分12分）

受金融危機的影響，三峽某旅游公司經濟效益出現了一定程度的滑坡．現需要對某一景點進行改造升級，從而擴大內需，提高旅游增加值. 經過市場調查，旅游增加值萬元與投入萬元之間滿足：，，其中為大于的常數.當萬元時萬元．

  (1)求的解析式和投入的取值范圍；

  (2)求出旅游增加值取得最大值時對應的值.

20．（本小題滿分13分）

已知點，分所成的比為2．是平面上一動點，且滿足．

(1) 求點的軌跡對應的方程；

(2) 已知點在曲線上，過點作曲線的兩條弦，且的斜率滿足．試推斷：動直線有何變化規律，證明你的結論.

21．(本小題滿分14分)

 設數列的前項和為，對一切，點都在函數 的圖象上．

 (1) 求數列的通項公式；

 (2) 將數列依次按1項、2項、3項、4項循環地分為（），（，），（，，），（，，，）；（），（，），(，，），（，，，）；（），…，分別計算各個括號內各數之和，設由這些和按原來括號的前后順序構成的數列為，求的值；

（3）設為數列的前項積，若不等式對一切都成立，求的取值范圍．

宜昌市2009屆高三年級第二次調研考試

數學(理)答案及評分標準

考試時間：2009年3月11日15：00―17：00

命題人：時愛華（枝江一中）

審題人：向立政（宜昌外校）    劉曉平（宜昌一中）     孫紅波（當陽一中）

1．C．．其共軛復數為．對應的點位于第三象限．

2．A．,=,非空真子集個數為．

3．B．為這10組數據的平均值，因為根據公式計算線性回歸方程的以后，再根據為樣本平均值)求得．因此一定滿足線性回歸方程，但滿足線性回歸方程的除了外，可能還有其它樣本點．

4．D．依題意，，周期，．

從而．

圖象過起始點(0，0)，則由得．

從而．

易知，

從而．

5．B.在中，已知是邊上一點，若，則，∴．

6．A．，

．要使在內連續，只需要．

7．C．自變量有5個，函數值也是5個不同的數，因此自變量與函數值只能一一對應，不會出現多對一的情形．因為A、B兩個數不能是對應的函數值，故先從余下6個數中選出與5對應的函數值，有種方法，再從其它7個數中選出4種排列即可，故不同選法共有種．

8．D．設雙曲線標準方程為， ，所以,，即，解得，由定義得，解得．

9．D．記，目標函數變形可得．數形結合可得斜率或，解得．

10．D．正方體中，連結、，則．在中，易得，所以，從而和所成的角大于小于．

空間中過不同的定點作直線與已知直線成一定條件的角的直線條數相等，因此可作的平行線，讓過同一點．

如圖所示，，同一平面內角的平分線正好與成的角均為．過此時的角平分線作平面，使其垂直于所在的平面，當繞著點在平面內按逆時針方向轉動時，與所成的角由增大到90º，再由90º減小到(還原)，符合條件的直線有2條．

，同一平面內角的平分線正好與成的角均為．過此時的角平分線作平面，使其垂直于所在的平面，當繞著點在平面內按逆時針方向轉動時，與所成的角由增大到90º，再由90º減小到(還原)，符合條件的直線有2條．因此符合條件的直線共有4條，即．

11．－1024．

．

令可得展開式不含的項，再令即得結果．就是．

12．8．

由得，因此即所以．

13．．由余弦定理得，觀察數據間的關系，易知為直角．在面上的射影為中點，從而．

在中，

14．．

依題意點，設．過點作圓的切線，切點為，則．從而，即，就是，,,解得．

15．9．

．要使為正整數，

可設，

附：求所有企盼數的和：

16．解：(1) ∵

∴，    ……………………………………1分

即         ……………………………………2分

即       ……………………………………3分

即，亦即………………………………………5分

.∵為的內角，

∴，∴.…………………………………………………7分

從而．∴   ………………………………………………………8分

(2) ∵，

由余弦定理得． ………………………10分

即

解得：或  ………………………………………………………………12分

17．解：（1）記“方程有且僅有一個實根”為事件，“方程 有兩個相異實數”為事件．

分別取1到6，基本事件總數為種．

事件需要滿足，按序窮舉可得，時符合，

其概率為                        ……………………………………2分

事件需要滿足，按序窮舉可得，時；時；時；時．合計9種．其概率為．……………5分

又因為是互斥事件，故所求概率

．          ……………………………6分

（2）由題意，的可能取值為．

，

．…………………………8分

故的分布列為：

……………………………………………………………………………………………9分

所以的數學期望．…………………………12分

18．解法1:取的中點，連.

∵，∴. 又⊥平面.

以為原點建立空間直角坐標系，如圖，

則已知條件有：，

……………………………………2分

．

設平面的法向量為

則由

及

解得．可取…………………4分

又⊥平面. ∴．又，∴⊥平面．

∴平面的法向量可取為

∵∴⊥，∴. ………6分

(2)平面的一個法向量記為，

則，即

取，則．因此．………………………………………9分

記所求角為，設，()

從而． ……11分

，

從而所求角的范圍為．  …………………………………12分

解法2:（1）取的中點，的中點，連，，. 則．

∵⊥平面，⊥平面，．

∴，，∴  ……………3分

∵. 又⊥平面，

∴平面⊥平面.

∴⊥平面. ∴⊥平面.

從而.   …………………………6分

另解：取的中點，連，．

等腰直角三角形中，，．

中，．

直角梯形中，．

為等腰三角形，，． …………3分

又等腰直角三角形中，從而為二面角的平面角．

中，．

由知．．………………6分

（2）取中點，則，從而． …………………7分

過作交平面于點．則為所求角． …………………8分

又，從而，因此為矩形，(定值)．

． …………………………10分

又．

從而所求角的范圍為．………………………………………………12分

19.解：(1)當萬元時萬元．

因此，解得．

從而………………………………………………………3分

即投入的取值范圍為.……………………………………………………6分

(2)

………………………………………………………8分

當時，且在上連續，因此在上是增函數；

當時，且在上連續，因此在上是減函數.所以為極大值點.  …………………………………………………………9分

當，即時，投入50萬元改造時旅游取得最大增加值.

當，即時，投入萬元改造時旅游取得最大增加值.

…………………………………………………………………………………………11分

答：(1)函數的解析式為，投入的取值范圍為.

(2) 當時，投入50萬元改造時旅游取得最大增加值.

   當時，投入萬元改造時旅游取得最大增加值.

 …………………………………………………………………………………………12分

20．解：（1）因為點，分所成的比為2，

所以．………………………………………2分

設代入，得．

化簡得．…………………………………………………………………………5分

（2）將代入，得，即．……………………………6分

∵，兩點不可能關于軸對稱，∴的斜率必存在．…………7分

設直線的方程為

由得．

∵，∴．

且

∴．

將代入化簡得∴．…………11分

(i)將代入得過定點．…12分

(ii)將 入得.

過定點．即為點，不合題意，舍去．

∴直線恒過定點.…………………………………………………………13分

21．解：（1）因為點在函數的圖象上，

故，所以．

令，得，所以；

令，得，所以；

令，得，所以．

由此猜想：．………………………………………………………………2分

用數學歸納法證明如下：

① 當時，有上面的求解知，猜想成立．

② 假設時猜想成立，即成立，

則當時，注意到，

故，．

兩式相減，得，所以．

由歸納假設得，，

故．

這說明時，猜想也成立．

由①②知，對一切，成立 ．……………………………………5分

另解：因為點在函數的圖象上，

故，所以    ①．

令，得，所以；……………………………………………1分

時    ②

時①－②得………………………………………………2分

令，

即與比較可得

，解得．

因此

又，所以，從而．………………5分

（2）因為（），所以數列依次按1項、2項、3項、4項循環地分為（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…. 每一次循環記為一組．由于每一個循環含有4個括號，  故 是第25組中第4個括號內各數之和．由分組規律知，由各組第4個括號中所有第1個數組成的數列是等差數列，且公差為20. 同理，由各組第4個括號中所有第2個數、所有第3個數、所有第4個數分別組成的數列也都是等差數列，且公差均為20. 故各組第4個括號中各數之和構成等差數列，且公差為80. 注意到第一組中第4個括號內各數之和是68，

所以 ．又=22，所以=2010.………………8分

（3）因為，故，

所以．

又，

故對一切都成立，就是

對一切都成立．……………9分

設，則只需即可．

由于，

所以，故是單調遞減，于是．

令，………………………………………………………………………12分

即 ，解得，或．

綜上所述，使得所給不等式對一切都成立的實數的取值范圍是．……………………………………………………………………14分