06 三角與向量
一、選擇題
1.(安徽2).若,
, 則
( B
)
A. (1,1) B.(-1,-1) C.(3,7) D.(-3,-7)
2.(安徽5).在三角形中,
,則
的大小為( A
)
A. B.
C.
D.
3.(安徽8).函數圖像的對稱軸方程可能是( D
)
A. B.
C.
D.
4.(北京4)已知中,
,
,
,那么角
等于( C
)
A. B.
C.
D.
5.(福建7)函數y=cosx(x∈R)的圖象向左平移個單位后,得到函數y=g(x)的圖象,則g(x)的解析式為( A )
A.-sinx B.sinx C.-cosx D.cosx
6.(福建8)在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若a2+c2-bac,則角B的值為( A )
A.
B.
C.
或
D.
或
7.(廣東3)已知平面向量a=(1,2), b=(-2,m), 且a∥b, 則2a+3b= ( B )
A.(-2,-4) B.(-3,-6) C.(-4,-8) D.(-5,-10)
8.(廣東5)已知函數f(x)=(1+cos2x)sin3x,x∈R, 則f(x)是 ( D )
A.最小正周期為的奇函數 B.最小正周期為
的偶函數
C.最小正周期為的奇函數 D.最小正周期為
的偶函數
9.(寧夏5)已知平面向量,
,
與
垂直,
則( A
)
A. B.
C.
D.
C.,
D.存在不全為零的實數,
,
A.,
B.
,
C.
,
D.
,
12.(湖南7)在中,AB=3,AC=2,BC=
,則
( D )
A. B.
C.
D.
13.(江西6)函數是( A )
A.以為周期的偶函數
B.以
為周期的奇函數
C.以為周期的偶函數
D.以
為周期的奇函數
14.(江西10)函數在區間
內的圖象是( D )
15.(遼寧5)已知四邊形
的三個頂點
,
,
,且
,則頂點
的坐標為( A
)
A. B.
C.
D.
16.(遼寧8)將函數的圖象按向量
平移得到函數
的圖象,則( A
)
A. B.
C.
D.
17.(全國Ⅰ5) 在中,
,
.若點
滿足
,則
=( A
)
A. B.
C.
D.
18.(全國Ⅰ6)是( D
)
A.最小正周期為的偶函數 B.最小正周期為
的奇函數
C.最小正周期為的偶函數 D.最小正周期為
的奇函數
19.(全國Ⅰ9)為得到函數的圖象,只需將函數
的圖像( C
)
A.向左平移個長度單位 B.向右平移
個長度單位
C.向左平移個長度單位 D.向右平移
個長度單位
20.(全國Ⅱ1)若且
是,則
是( C
)
A.第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
21.(全國Ⅱ10)函數的最大值為( B
)
A.1 B.
C.
D.2
22.(山東8) 已知為
的三個內角
的對邊,向量
.若
,且
,則角
的大小分別為( C
)
A. B.
C.
D.
23.(山東10) 已知,則
的值是( C )
A. B.
C.
D.
24.(四川3)設平面向量,則
( A )
。ǎ粒 。ǎ拢
。ǎ茫
(D)
25.(四川4)( D )
。ǎ粒 (B)
。ǎ茫
。ǎ模
26.(四川7)的三內角
的對邊邊長分別為
,若
,則
( B )
。ǎ粒 。ǎ拢
。ǎ茫
。ǎ模
27.(天津6) 把函數的圖象上所有的點向左平行移動
個單位長度,再把所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的
倍(縱坐標不變),得到的圖象所表示的函數是(
C )
A. B.
C. D.
28.(天津9) 設,
,
,則( D )
A. B.
C.
D.
29.(浙江2)函數的最小正周期是 ( B )
(A) (B)
(C)
(D)
30.(浙江7)在同一平面直角坐標系中,函數的圖象和直線
的交點個數是 ( C )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)4
31.(重慶12)函數f(x)=(0≤x≤2
)的值域是 (
C )
(A)[-] (B)[-
]
(C)[-] (D)[-
]
32.(湖北1).設 ( C )
A.
B.0
C.-3
D.-11
33.(湖北7).將函數的圖象F向右平移
個單位長度得到圖象F′,若F′的一條對稱軸是直線
則
的一個可能取值是 (
A )
A.
B.
C.
D.
34.(陜西1) 等于( B
)
A. B.
C.
D.
二、填空題
1.(北京9)若角的終邊經過點
,則
的值為______________.
2.(北京11)已知向量與
的夾角為
,且
,那么
的值為________.
3.(湖南11)已知向量,
,則
=_____________________.2
4.(江蘇1)最小正周期為
,其中
,則
10
5.(江蘇5)的夾角為
,
,則
7
6.(江蘇13)若,則
的最大值
7.(江西16)如圖,正六邊形中,有下列四個命題:
A.
B.
C.
D.
其中真命題的代號是
(寫出所有真命題的代號).
8.(遼寧16)設,則函數
的最小值為
.
9.(全國Ⅱ13)設向量,若向量
與向量
共線,則
.2
10.(上海5)若向量,
滿足
且
與
的夾角為
,則
.
11.(天津14) 已知平面向量,
,若
,則
.
12.(浙江12)若,則
_________。
13.(浙江14)在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為、b、c ,若
,則
。
14.(浙江16)已知是平面內的單位向量,若向量
滿足
,則
的取值范圍是 。
15.(湖北12).在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C所對的邊,已知 則A=
.
16.(陜西13) 的內角
的對邊分別為
,
若,則
.
17.(陜西15) 關于平面向量.有下列三個命題:
①若,則
.②若
,
,則
.
③非零向量和
滿足
,則
與
的夾角為
.
其中真命題的序號為 ② .(寫出所有真命題的序號)
三、解答題
1.(安徽17).(本小題滿分12分)
已知函數
(Ⅰ)求函數的最小正周期和圖象的對稱軸方程
(Ⅱ)求函數在區間
上的值域
解:(1)
(2)
因為在區間
上單調遞增,在區間
上單調遞減,
所以 當時,
取最大值 1
又 ,
當
時,
取最小值
所以 函數 在區間
上的值域為
2.(北京15)(本小題共13分)
已知函數(
)的最小正周期為
.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求函數在區間
上的取值范圍.
解:(Ⅰ)
.
因為函數的最小正周期為
,且
,
所以,解得
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得.
因為,
所以,
所以.
因此,即
的取值范圍為
.
3.(福建17)(本小題滿分12分)
已知向量,且
(Ⅰ)求tanA的值;
(Ⅱ)求函數R)的值域.
解:(Ⅰ)由題意得
m?n=sinA-2cosA=0,
因為cosA≠0,所以tanA=2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知tanA=2得
因為xR,所以
.
當時,f(x)有最大值
,
當sinx=-1時,f(x)有最小值-3,
所以所求函數f(x)的值域是
4.(廣東16)(本小題滿分13分)
已知函數f(x)=Asin(x+)(A>0,0<
<
),x
R的最大值是1,其圖像經過點M
.
(1) 求f(x)的解析式;
(2)
已知α,β,且f(α)=
,f(β)=
,求f(α-β)的值.
解:(1)依題意知 A=1
, 又
;
即
因此 ;
(2)
,
且
,
5.(寧夏17)(本小題滿分12分)
如圖,
是等邊三角形,
是等腰直角三角形,
,
交
于
,
.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求.
解:(Ⅰ)因為,
,
所以.
所以.???????????????????????????????????????????????? 6分
(Ⅱ)在中,
,
由正弦定理.
故. 12分
6.(江蘇15)(14分)
如圖,在平面直角坐標系xoy中,以ox軸為始邊做兩個銳角
,它們的終邊分別與單位圓相交于A、B兩點,已知A、B的橫坐標分別為
(1)求的值; (2)求
的值。
【解析】:本小題考查三角函數的基本概念、三角函數
的基本關系式、兩角和的正切、二倍角的正切公式,
考查運算求解能力。
由條件得
為銳角,
(1)
(2)
為銳角,
7.(江蘇17)(14分)
某地有三家工廠,分別位于矩形ABCD的頂點A、B及CD的中點P處,已知AB=20km,BC=10km,為了處理三家工廠的污水,現要在矩形ABCD的區域上(含邊界),且A、B與等距離的一點O處建造一個污水處理廠,并鋪設排污管道AO、BO、OP,設排污管道的總長為ykm。
(1)按下列要求寫出函數關系式:
①設∠BAO=θ(rad),將y表示成θ的函數關系式;
②設OP=x(km),將y表示成x的函數關系式;
(2)請你選用(1)中的一個函數關系式,確定污水處理廠的位置,使三條排污管道總長度最短。
【解析】:本小題考查函數的概念、
解三角形、導數等基本知識,考查數學建模能力、
抽象概括能力和解決實際問題的能力。
(1)①由條件知PQ垂直平分AB,若∠BAO=θ(rad),則,
故
又,所以
所求函數關系式為
②若OP=x(km),則OQ=10-x,所以
所求函數關系式為
(2)選擇函數模型①,
令得
當時
,y是θ的減函數;當
時
,y是θ的增函數;
所以當時,
此時點O位于線段AB的中垂線上,且距離AB邊km處。
8.(江西17)已知,
(1)求的值;
(2)求函數的最大值.
解:(1)由
得,
于是=
.
(2)因為
所以
的最大值為
.
9.(湖南17)(本小題滿分12分)
已知函數f(x)=cox2
(Ⅰ)求函數f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)當x0∈(0,)且f(x0)=
時,求f(x0+
)的值.
解 由題設有f(x)=cosx+sinx=.
(Ⅰ)函數f(x)的最小正周期是T=2x.
(Ⅱ)由f(x0)=得
,即sin
因為x0∈(0,),所以
從而cos.
于是
10.(遼寧17)(本小題滿分12分)
在中,內角
對邊的邊長分別是
,已知
,
.
(Ⅰ)若的面積等于
,求
;
(Ⅱ)若,求
的面積.
解:(Ⅰ)由余弦定理得,,
又因為的面積等于
,所以
,得
.???????????????????????????? 4分
聯立方程組解得
,
.?????????????????????????????????????????????????????? 6分
(Ⅱ)由正弦定理,已知條件化為,?????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分
聯立方程組解得
,
.
所以的面積
.?????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
11.(全國Ⅰ17)(本小題滿分12分)
設的內角
所對的邊長分別為
,且
,
.
(Ⅰ)求邊長;
(Ⅱ)若的面積
,求
的周長
.
解:(1)由與
兩式相除,有:
又通過知:
,
則,
,
則.
(2)由,得到
.
由,
解得:,
最后.
12.(全國Ⅱ17)(本小題滿分10分)
在中,
,
.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)設,求
的面積.
解:(Ⅰ)由,得
,
由,得
.????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
所以.?????????????????????????????????? 5分
(Ⅱ)由正弦定理得.???????????????????????????????????????? 8分
所以的面積
.??????????????????? 10分
13.(山東17)(本小題滿分12分)
已知函數(
,
)為偶函數,且函數
圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為
.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)將函數的圖象向右平移
個單位后,得到函數
的圖象,求
的單調遞減區間.
解:(Ⅰ)
.
因為為偶函數,
所以對,
恒成立,
因此.
即,
整理得.
因為,且
,
所以.
又因為,
故.
所以.
由題意得,所以
.
故.
因此.
(Ⅱ)將的圖象向右平移
個單位后,得到
的圖象,
所以.
當(
),
即(
)時,
單調遞減,
因此的單調遞減區間為
(
).
14.(上海17)(本題滿分13分)
如圖,某住宅小區的平面圖呈扇形AOC.小區的兩個出入口設置在點A及點C處,小區里
有兩條筆直的小路,且拐彎處的轉角為
.已知某人從
沿
走到
用了10分鐘,從
沿
走到
用了6分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米,求該扇形的半徑
的長(精確到1米).
![]() |
【解法一】設該扇形的半徑為r米. 由題意,得
CD=500(米),DA=300(米),∠CDO=……………………………4分
在中,
……………6分
即…………………….9分
解得(米). …………………………………………….13分
【解法二】連接AC,作OH⊥AC,交AC于H…………………..2分
由題意,得CD=500(米),AD=300(米),………….4分
∴ AC=700(米) …………………………..6分
………….…….9分
在直角
∴ (米). ………………………13分
15.(上海18)(本題滿分15分)本題共有2個小題,第1個題滿分5分,第2小題滿分10分.
已知函數f(x)=sin2x,g(x)=cos,直線
與函數
的圖像分別交于M、N兩點.
(1)當時,求|MN|的值;
(2)求|MN|在時的最大值.
【解】(1)…………….2分
………………………………5分
(2)
…………...8分
…………………………….11分
∵ …………13分
∴ |MN|的最大值為.
……………15分
16.(四川17)(本小題滿分12分)
求函數的最大值與最小值。
【解】:
由于函數在
中的最大值為
最小值為
故當時
取得最大值
,當
時
取得最小值
17.(天津17)(本小題滿分12分)
已知函數的最小正周期是
.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求函數的最大值,并且求使
取得最大值的
的集合.
(Ⅰ)解:
.
由題設,函數的最小正周期是
,可得
,所以
.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,.
當,即
時,
取得最大值1,所以函數
的最大值是
,此時
的集合為
.
18.(重慶17)(本小題滿13分,(Ⅰ)小問5分,(Ⅱ)小問8分.)
設△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知,求:
(Ⅰ)A的大小;
(Ⅱ)的值.
解:(Ⅰ)由余弦定理,
(Ⅱ)
19.(湖北16).(本小題滿12分)
已知函數
(Ⅰ)將函數化簡成
的形式,并指出
的周期;
(Ⅱ)求函數上的最大值和最小值
解:(Ⅰ)f(x)=sinx+
.
故f(x)的周期為2kπ{k∈Z且k≠0}.
(Ⅱ)由π≤x≤π,得
.因為f(x)=
在[
]上是減函數,在[
]上是增函數.
故當x=時,f(x)有最小值-
;而f(π)=-2,f(
π)=-
<-2,
所以當x=π時,f(x)有最大值-2.
20.(陜西17)(本小題滿分12分)
已知函數.
(Ⅰ)求函數的最小正周期及最值;
(Ⅱ)令,判斷函數
的奇偶性,并說明理由.
解:(Ⅰ).
的最小正周期
.
當時,
取得最小值
;當
時,
取得最大值2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知.又
.
.
.
函數
是偶函數.
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