1．若復數，則對應復平面上的點在                                （   ）

A．第一象限           B．第二象限         C．第三象限          D．第四象限

2．定積分的值為                                                （   ）

A．1                  B．2                C．3                 D．0

3．以下圖形分別表示一個三次函數及其導數在同一坐標系中的圖象，其中一定不正確的有 （   ）

A．1個                B．2個              C．3個              D．4個

4．函數的單調遞增區間是                                        （   ）

A．   B．         C．           D．

5．已知函數，則等于                             （   ）

A．                 B．               C．                D．

6．已知，則的值為                                        （   ）

A．                B．                C．              D．不存在

7．設坐標平面上的拋物線C：，過第一象限的點作曲線C的切線，與軸的夾角為30^o，則的值為                                                  （   ）

A．              B．             C．               D．

8．已知，，且，則實數的值為             （   ）

A．                B．               C．                D．

9．若直線和⊙O：沒有交點，則過點的直線與橢圓的交點個數為                                                         （   ）

A．至多1個          B．2個               C．1個              D．0個

10．函數是圓心在原點的單位圓的兩段圓�。ㄈ鐖D），則不等式的解集為（   ）

A．

B．

C． 

D．

11．若，則與的大小關系是                                  （   ）

A．          B．       C．          D．與的值有關

12．偶函數在內可導，且，，則曲線 在點處切線的斜率為                           （   ）

A．               B．              C．               D．

第Ⅱ卷  （非選擇題   共90分）

13．已知某圓的極坐標方程為，化為普通方程為______________________．

14．把由曲線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉一周，則旋轉所形成的旋轉體的體積為_____________．

15．已知，則_____________．

16．已知函數都是定義在上的函數，，，，，在有窮數列中，任意取正整數，前項和大于的概率是 _____________．

17．（本題滿分10分）

已知復數，當為何值時，復數：

（1）是實數；

（2）是純虛數．

18．（本題滿分12分）

已知函數．

（1）求的單調區間；

（2）若當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

19．（本題滿分12分）

如圖，在會展中心廣場要臨時搭建占地面積為平方米長寬不等的冰雕景區，四周有小路，冰雕景區長邊外小路寬6米，短邊外小路寬8米，冰雕景區長邊長為米．對于給定的，怎樣設計冰雕景區的長與寬，使冰雕景區和小路占地面積總和最�。�

20．（本題滿分12分）

如圖，直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，AB=AC，D為BC中點， F為BB₁上一點，BF=BC=2，FB₁=1．

（1）求證：AD⊥平面BB₁C₁C；

（2）若E為AD上不同于A、D的任一點，求證：EF⊥FC₁；

（3）若AB=3，求FC₁與平面AA₁B₁B所成角的正弦值．

21．（本題滿分12分）

已知A、B、C是長軸長為4的橢圓上的3個點，點A是長軸的一個頂點，BC過橢圓中心，且，．

（1）求橢圓方程；

（2）動弦CP、CQ分別交軸于E、F兩點，且， 求證：．

22.（本題滿分12分）

已知函數的圖象如圖所示，與軸相切于點O，與正半軸相交于點A，且此函數圖象與軸所圍成區域（圖中陰影部分）的面積為.

  （1）求函數的解析式；

  （2）設，如果過點可作函數的兩條切線，

求證：點在函數 的圖象上，或者在某條定直線上，并求出該直線方程；

  （3）設，求證：．

哈師大附中高二下學期期中考試數學答案（理科）

17.解：（1）若復數為實數，則有，或……5’

（2）若復數為純虛數，則有且，……10’

18.解：（1）……1’

令，或，

令，……5’

的單調遞增區間為，減區間為     ……6’

（2）當時，由（1）知在上遞減，在上遞增，

當時有最小值為，……9’

若當時不等式恒成立，則只須，即     ……12’

19.解：設冰雕景區的長為米，則寬為米，設總占地面積為平方米，依題意有

……3’，  ……4’ 

令得……5’

（1）當時，則，

此時，當且僅當時取等號    ……7’

（2）當時，則，

此時，函數在上單調遞增，時，最小 ……9’

（3）當時，

此時，函數在上單調遞減，時，最小 ……11’

答：當時，長取20米，寬取米，面積總和最��；

當時，長取米，寬取米，面積總和最�。�

當時，長取30米，寬取米，面積總和最小�！�…12’

20.證明 (1)在直三棱柱中，⊥平面，面 ，⊥

又，為的中點，⊥，且面

⊥面                                     ……4’

 (2)連結，，⊥，又⊥面⊥且，面⊥面，面⊥……8’

(3)過作⊥于，連結，⊥面，且面，

面⊥面，且面面，又⊥，⊥面與平面所成的角為，在中，

與面所成的角的正弦值為                     ……12’

21.解：(1)設橢圓方程為：，，由已知

  ① ……2’                                                                       

，為等腰直角三角形②…4’

由①②得：，代入橢圓方程得，橢圓方程為……6’

(2),不妨設，設直線方程：

聯立得，

………8         同理，………10’

且，，………12’ 

22解：（1）依題可知，，所以

        因為，所以則       

        令，則

        故所以（不符合題意，舍去）

        所以                                                 

（2）證明：由（1）知，，

設函數在點處的切線方程為        

若有一條切線過點，則存在實數，使

即

令，則

因為，所以，當或時，；當時，

所以，在處取得極大值，在處取得極小值

如果過點可作函數的兩條切線，則方程有兩個相異實根，所以或

即點滿足在曲線上，或者點滿足，在定直線

上                                                     

（3）令                    

  因為，所以，

  所以在上成立，即為上單調遞增函數，

   所以成立，即成立.